Question

【題目】如圖13，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱圖形為．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）連接，若，．

①求的值；

②若點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需要的時(shí)間最短時(shí)，求的長(zhǎng)和點(diǎn)走完全程所需的時(shí)間．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）① ②和 走完全程所需時(shí)間為

【解析】

試題分析：（1）利用四邊相等的四邊形是菱形；（2）①構(gòu)造直角三角形求；②先確定點(diǎn)沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需要的時(shí)間最短時(shí)的位置，再計(jì)算運(yùn)到的時(shí)間.

試題解析：解：（1）證明： 四邊形 是矩形.

與 交于點(diǎn)O,且 關(guān)于 對(duì)稱

四邊形 是菱形.

（2）①連接 ,直線 分別交 于點(diǎn) ,交 于點(diǎn)

關(guān)于 的對(duì)稱圖形為

在矩形 中， 為 的中點(diǎn)，且O為AC的中點(diǎn)

為 的中位線

同理可得： 為 的中點(diǎn)，

②過(guò)點(diǎn)P作 交 于點(diǎn)

由 運(yùn)動(dòng)到 所需的時(shí)間為3s

由①可得，

點(diǎn)O以 的速度從P到A所需的時(shí)間等于以 從M運(yùn)動(dòng)到A

即：

由O運(yùn)動(dòng)到P所需的時(shí)間就是OP+MA和最小.

如下圖，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到 ,即 時(shí)，所用時(shí)間最短.

在 中，設(shè)

解得：

和 走完全程所需時(shí)間為