Question

【題目】如圖1，E是直線AB，CD內部一點，AB∥CD，連接EA，ED．

（1）探究猜想：
①若∠A=35°，∠D=30°，則∠AED等于多少度？
②若∠A=48°，∠D=32°，則∠AED等于多少度？
③猜想圖1中∠AED，∠EAB，∠EDC的關系并證明你的結論．
（2）拓展應用：
如圖2，射線EF與長方形ABCD的邊AB交于點E，與邊CD交于點F，①②③④分別是被射線FE隔開的4個區(qū)域（不含邊界，其中區(qū)域③、④位于直線AB上方，P是位于以上四個區(qū)域上的點，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的關系（不要求寫出證明過程）

Answer 1

【答案】
（1）解：①如圖①，過點E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∵∠A=35°，∠D=30°，

∴∠1=∠A=35°，∠2=∠D=30°，

∴∠AED=∠1+∠2=65°；

②過點E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∵∠A=48°，∠D=32°，

∴∠1=∠A=48°，∠2=∠D=32°，

∴∠AED=∠1+∠2=80°；

③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．

理由：過點E作EF∥CD，

∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一條直線的兩直線平行），

∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（兩直線平行，內錯角相等），

∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代換）．

（2）解：根據題意得：

點P在區(qū)域①時，∠EPF=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；

點P在區(qū)域②時，∠EPF=∠PEB+∠PFC；

點P在區(qū)域③時，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；

點P在區(qū)域④時，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．

【解析】（1）①過點E作EF∥AB，依據平行公理的推理可得到AB∥CD∥EF，然后依據平行線的性質以及∠AED=∠1+∠2求解即可；②過點E作EF∥AB，同理可得到問題的答案；③過點E作EF∥CD，同理可得到問題的答案；
（2）分為點P分別位于①、②、③、④四個區(qū)域，然后再根據平行線的性質進行求解即可得到結論.
【考點精析】本題主要考查了平行線的判定與性質的相關知識點，需要掌握由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質才能正確解答此題．