Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，連結(jié)CO．BD∥OC交⊙O于D，延長AB、CD交于點(diǎn)E．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若tan∠BDE=

1

2

，且BE=2，求線段BD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）先利用SAS證明△COD≌△COB，然后由全等三角形的對應(yīng)角相等，求得∠CDO=90°，即可證得直線CE是⊙O的切線；
（2）先證得△EDB∽△EAD，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出DE=2BE=4，AE=2DE=8，AB=AE-BE=6，然后根據(jù)勾股定理即可求得線段BD的長．

解答：（1）證明：連接OD，
∵AC為⊙O的切線，
∴AC⊥AB，
∴∠OAC=90°，
∵BD∥OC，
∴∠OBD=∠AOC，∠ODB=∠COD，
∵OB、OD為⊙O的半徑，
∴OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠AOC=∠DOC．
在△CDO和△CAO中，

OA=OD ∠AOC=∠DOC CO=CO

，
∴△COD≌△COA（SAS），
∴∠CDO=∠CAO=90°，
∴OD⊥CE，
∴CE是⊙O的切線；

（2）解：連接AD，
∵CE是⊙O的切線，
∴∠BDE=∠OAD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠ODE=90°，
∴∠BDE=∠ODA=∠OAD，
∴tan∠BAD=tan∠BDE=

1

2

，即tan∠BAD=

BD

DA

=

1

2

，
∵∠DEB=∠AED，∠BDE=∠EAD
∴△EDB∽△EAD，
∴

BE

DE

=

DE

AE

=

BD

DA

=

1

2

，
∴DE=2BE=4，AE=2DE=8，AB=AE-BE=6，
在RT△ABD中，∠ADB=90°，AD²+BD²=AB²，
∵AD=2BD，
∴（2BD）²+BD²=6²，
∴BD=

6 5

5

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．