Question

在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點坐標(biāo)分別為O（0，0），A（50，0），B（50，50），C（0，50）．若正方形OABC的內(nèi)部（邊界及頂點除外）一格點P（“格點”是指在平面直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）滿足S_△POA•S_△PBC=S_△PAB•S_△POC，就稱P為“好點”．
（1）請你判斷：P（20，15）是“好點”嗎？
（2）求出正方形OABC內(nèi)部“好點”的個數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵S_△POA•S_△PBC=×50×15××50×35=25²×15×35，
S_△PAB•S_△POC=×50×30××50×20=50²×30×20，
∴S_△POA•S_△PBC≠S_△PAB•S_△POC．
∴P（20，15）不是“好點”．

（2）設(shè)P（x，y），其中x，y均為正整數(shù)，且0＜x＜50，0＜y＜50．
由S_△POA•S_△PBC=S_△PAB•S_△POC，
得y（50-y）=x（50-x），即x²-y²-50x+50y=0，即（x-y）（x+y-50）=0．
∴x=y或x+y=50．
于是，點P在對角線OB或AC上．
故滿足條件的“好點”共有2×49-1=97（個）．
分析：（1）利用三角形的面積公式把點P（20，15）代入好點的條件，如果滿足，則點P是“好點”，如果不滿足，則點P不是“好點”；
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），把點P的坐標(biāo)代入好點條件，求出x與y的關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式找出在正方形內(nèi)的點的坐標(biāo)的個數(shù)，就是“好點”的個數(shù)．
點評：本題通過正方形的性質(zhì)考查了“好點”，有新意，只要利用三角形的面積，根據(jù)“好點”的定義列式進行計算即可判斷，難度不大．