Question

如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，∠ABC的平分線BE分別交CD、CA于點F、E，則下列結論正確的

 

（只填序號）
①∠CFE=∠CEF；②∠FCB=∠FBC；③∠A=∠DCB；④∠CFE與∠CBF互余．

Answer 1

考點：三角形內角和定理,余角和補角,三角形的外角性質

專題：

分析：①利用外角的性質可得∠1=∠A+∠6，∠2=∠4+∠5，由角平分線的性質可得：∠5=∠6，由同角的余角相等可得：∠A=∠4，進而可得∠1=∠2，即∠CFE=∠CEF；
②采用分析法，若∠FCB=∠FBC，即∠4=∠5，由（1）可知：∠A=∠4，進而∠A=∠5=∠6，然后由直角三角形兩銳角互余可得∠A=30°，即只有當∠A=30°時，∠FCB=∠FBC而已知沒有這個條件；
③由同角的余角相等可得：∠A=∠4，即∠A=∠DCB；
④由∠1=∠2，∠1與∠5互余，可得∠2與∠5互余，即：∠CFE與∠CBF互余．

解答：解：如圖所示，

①∵BE平分∠ABC，
∴∠5=∠6，
∵∠3+∠4=90°，∠A+∠3=90°，
∴∠A=∠4，
∵∠1=∠A+∠6，∠2=∠4+∠5，
∠1=∠2，
故∠CFE=∠CEF，所以①正確；
②若∠FCB=∠FBC，即∠4=∠5，
由（1）可知：∠A=∠4，
∴∠A=∠5=∠6，
∵∠A+∠5+∠6=180°，
∴∠A=30°，
即只有當∠A=30°時，∠FCB=∠FBC而已知沒有這個條件，故②錯誤；
③∵∠3+∠4=90°，∠A+∠3=90°，
∴∠A=∠4，
即∠A=∠DCB，故③正確；
④∵∠1=∠2，∠1+∠5=90°，
∴∠2+∠5=90°，
即：∠CFE與∠CBF互余，故④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了等腰三角形的判定，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余的性質，同角的余角相等的性質，利用阿拉伯數字加弧線表示角更形象．