【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AE平分∠BAF,交⊙O于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作直線ED⊥AF,交AF的延長線于點(diǎn)D,交AB的延長線于點(diǎn)C.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)∠C=45°,⊙O的半徑為2,求陰影部分面積.
【答案】(1)見解析;(2)2-
【解析】
(1)若要證明CD是⊙O的切線,只需證明CD與半徑垂直,故連接OE,證明OE∥AD即可;
(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和扇形的面積公式即可得到結(jié)論.
解:(1)連接OE.
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA,
又∵∠DAE=∠OAE,
∴∠OEA=∠DAE,
∴OE∥AD,
∴∠ADC=∠OEC,
∵AD⊥CD,
∴∠ADC=90°,
故∠OEC=90°.
∴OE⊥CD,
∴CD是⊙O的切線;
(2)∵∠C=45°,
∴△OCE是等腰直角三角形,
∴CE=OE=2,∠COE=45°,
∴陰影部分面積=S△OCE﹣S扇形OBE=2×2﹣=2﹣.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在大樓AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,樓高AB=60米,在斜坡下的點(diǎn)C處測得樓頂B的仰角為60°,在斜坡上的D處測得樓頂B的仰角為45°,其中點(diǎn)A,C,E在同一直線上.
(1)求坡底C點(diǎn)到大樓距離AC的值;
(2)求斜坡CD的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校開展了主題為“垃圾分類,綠色生活新時尚”的宣傳活動,為了解學(xué)生對垃圾分類知識的掌握情況,該校環(huán)保社團(tuán)成員在校園內(nèi)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查將他們的得分按優(yōu)秀、良好、合格、不合格四個等級進(jìn)行統(tǒng)計,并繪制了如下不完整的統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖表信息,解答下列問題:
本次調(diào)查隨機(jī)抽取了____ 名學(xué)生:表中 ;
補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖:
若全校有名學(xué)生,請你估計該校掌握垃圾分類知識達(dá)到“優(yōu)秀"和“良好”等級的學(xué)生共有多少人
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀以下材料,并按要求完成相應(yīng)地任務(wù):
萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)是瑞士數(shù)學(xué)家,在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù),公式和定理,下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理:在△ABC中,R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑,O和I分別為其外心和內(nèi)心,則.
如圖1,⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓,⊙I與AB相切分于點(diǎn)F,設(shè)⊙O的半徑為R,⊙I的半徑為r,外心O(三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn))與內(nèi)心I(三角形三條角平分線的交點(diǎn))之間的距離OI=d,則有d2=R2﹣2Rr.
下面是該定理的證明過程(部分):
延長AI交⊙O于點(diǎn)D,過點(diǎn)I作⊙O的直徑MN,連接DM,AN.
∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所對的圓周角相等),
∴△MDI∽△ANI,
∴,
∴①,
如圖2,在圖1(隱去MD,AN)的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE,連接BE,BD,BI,IF,
∵DE是⊙O的直徑,∴∠DBE=90°,
∵⊙I與AB相切于點(diǎn)F,∴∠AFI=90°,
∴∠DBE=∠IFA,
∵∠BAD=∠E(同弧所對圓周角相等),
∴△AIF∽△EDB,
∴,∴②,
任務(wù):(1)觀察發(fā)現(xiàn):, (用含R,d的代數(shù)式表示);
(2)請判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)請觀察式子①和式子②,并利用任務(wù)(1),(2)的結(jié)論,按照上面的證明思路,完成該定理證明的剩余部分;
(4)應(yīng)用:若△ABC的外接圓的半徑為5cm,內(nèi)切圓的半徑為2cm,則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為 cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖1,將三角板放在正方形上,使三角板的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合,三角板的一邊交于點(diǎn).另一邊交的延長線于點(diǎn).
(1)觀察猜想:線段與線段的數(shù)量關(guān)系是 ;
(2)探究證明:如圖2,移動三角板,使頂點(diǎn)始終在正方形的對角線上,其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給予證明:若不成立.請說明理由:
(3)拓展延伸:如圖3,將(2)中的“正方形”改為“矩形”,且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn),其他條件不變,若、,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊AD⊥y軸,垂足為點(diǎn)E,頂點(diǎn)A在第二象限,頂點(diǎn)B在y軸的正半軸上,反比例函數(shù)y=(k≠0,x>0)的圖象同時經(jīng)過頂點(diǎn)C,D.若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5,BE=3DE,則k的值為( 。
A. B. 3 C. D. 5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線與反比例函數(shù)的圖像在第一象限有一個公共點(diǎn),其橫坐標(biāo)為1,則一次函數(shù)的圖像可能是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=x+4的圖象與反比例函數(shù)y=(k為常數(shù)且k≠0)的圖象交于A(﹣1,3),B(b,1)兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在x軸上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,并求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)連接OA,OB,求△OAB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形中,,,是邊上一點(diǎn),連接,將矩形沿折疊,頂點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處,延長交的延長線于點(diǎn).
(1)求線段的長;
(2)如圖2,,分別是線段,上的動點(diǎn)(與端點(diǎn)不重合),且.
①求證:∽;
②是否存在這樣的點(diǎn),使是等腰三角形?若存在,請求出的長;若不存在,請說明理由.
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