Question

【題目】如圖1，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，將矩形沿折疊，頂點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，延長交的延長線于點(diǎn)．

（1）求線段的長；

（2）如圖2，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且．

①求證：∽；

②是否存在這樣的點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）①見解析；②存在．由①得△DMN∽△DGM，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出AD=AF、DE=EF，進(jìn)而設(shè)EC＝x，則DE＝EF＝8﹣x，利用勾股定理求解即可得出答案；

（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)得出△DAE∽△CGE求得CG＝6，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出DG=10，得出AD=DG，即可得出答案；②假設(shè)存在，由①可得當(dāng)△DGM是等腰三角形時(shí)△DMN是等腰三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)MG＝DG=10時(shí)，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解；當(dāng)MG＝DM時(shí)，作MH⊥DG于H，證出△GHM∽△GBA，即可得出答案.

解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠B＝∠BCD =∠D＝90°，

由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，設(shè)EC＝x，則DE＝EF＝8﹣x．

在Rt△ABF中，BF＝＝6，

∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，

在Rt△EFC中，則有：（8﹣x）2＝x2+42，

∴x＝3，

∴EC＝3．

（2）①如圖2中，

∵AD∥CG，

∴∠DAE=∠CGE，∠ADE=∠GCE

∴△DAE∽△CGE

∴＝，

∴，

∴CG＝6，

∴在Rt△DCG中，，

∴AD=DG

∴∠DAG＝∠AGD，

∵∠DMN＝∠DAM

∴∠DMN＝∠DGM

∵∠MDN=∠GDM

∴△DMN∽△DGM

②存在．由①得△DMN∽△DGM

∴當(dāng)△DGM是等腰三角形時(shí)△DMN是等腰三角形

有兩種情形：

如圖3﹣1中，當(dāng)MG＝DG=10時(shí)，

∵BG＝BC+CG＝16，

∴在Rt△ABG中，，

∴AM＝AG - MG = ．

如圖3﹣2中，當(dāng)MG＝DM時(shí)，作MH⊥DG于H．

∴DH＝GH＝5，

由①得∠DGM =∠DAG=∠AGB

∵∠MHG =∠B

∴△GHM∽△GBA

∴，

∴，

∴，

∴．

綜上所述，AM的長為或．