Question

如圖，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AB于點(diǎn)E，交AC的延長線與點(diǎn)F．
（1）求證：EF⊥AB；
（2）求cos∠F的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由EF為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD與EF垂直，又OD=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由AB=AC，根據(jù)等邊對等角得到另一對角相等，等量代換可得出一對同位角相等，根據(jù)同位角相等兩直線平行可得出OD與AB平行，由與平行線中的一條直線垂直，與另一條也垂直，即可得證；
（2）連接AD，CG，由AC為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，可得出∠ADC與∠AGC都為直角，又FE垂直與AB，且CG垂直與AB，可得出GC與EF平行，根據(jù)兩直線平行同位角相等可得出∠F=∠ACG，由AB=AC，AD垂直與BC，根據(jù)三線合一得到D為BC的中點(diǎn)，由BC的長求出DC的長，在直角三角形ADC中，由DC及AC的長，利用勾股定理求出AD的長，再根據(jù)三角形ABC的面積由AD與BC乘積的一半來求，也可以由AB與CG乘積的一半來求出，兩者相等可得出GC的長，由∠ACG的鄰邊GC與斜邊AC的比值求出cos∠ACG的值，即為cos∠F的值．

解答：證明：（1）連接OD，…（1分）

∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
又∵AB=AC，
∴∠OCD=∠B，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，…（2分）
∵ED是⊙O的切線，OD是⊙O的半徑，
∴OD⊥EF，
∴AB⊥EF；…（3分）
（2）連接AD、CG，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ADC=∠AGC=90°，
∵AB⊥EF，
∴DE∥CG，
∴∠F=∠GCA，…（4分）
∵AB=AC，
∴DC=

1

2

BC=5，
Rt△ADC中，AD=

AC2-CD2

=12，…（5分）
∵S_△ABC=

1

2

AD•BC=

1

2

AB•CG，
∴CG=

AD•BC

AB

=

120

13

，…（6分）
在Rt△CGA中，cos∠GCA=

GC

AC

=

120

169

，
∴cos∠F=

120

169

．…（7分）

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．