Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD和四邊形DEFG為正方形，點E在線段DC上，點A，D，G在同一直線上，且AD=3，DE=1，連接AC，CG，AE，并延長AE交OG于點H．

（1）求證：∠DAE=∠DCG．
（2）求線段HE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形DEFG為正方形，

∴DG=DE，DC=DA，∠ADE=∠GDC=90°

在△GDC和△EDA中，

，

∴△GDC≌△EDA，

∴∠DCG=∠DAE

（2）解：∵△GDC≌△EDA，AD=3，DE=1，

∴GC=AE= = ，

∵∠DAE+∠AED=90°，∠DEA=∠CEH，

∴∠DCG+∠HEC=90°，

∴∠EHC=90°，

∴AH⊥GC，

∵S△AGC= AGDC= GCAH，

∴ ×4×3= × ×AH，

∴AH= ，

∴EH=AH﹣AE= ．

【解析】（1）利用正方形的性質可證出△GDC≌△EDA， 得出∠DCG=∠DAE；（2）利用面積法求出AH，運用勾股定理求出AE，AH﹣AE=EH即可.
【考點精析】認真審題，首先需要了解正方形的性質(正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．