Question

在下列兩圖中，四邊形ABCD為正方形，AB=3，E為邊CD上一點(diǎn)，DE=

3

（1）在圖1中，F(xiàn)為正方形ABCD邊BC上一點(diǎn)，且∠EAF=30°，求EF．
（2）利用尺規(guī)作圖，在圖2中，在邊BC找一點(diǎn)P，使得PA=PE，并求BP．（保留作圖痕跡，不寫步驟）

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),作圖—復(fù)雜作圖,解直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)在直角三角形ADE中的邊角關(guān)系可求出∠ADE=30°，由由已知條件可求出∠BAF=30°，進(jìn)而求出AF，AE的長，再利用勾股定理即可求出EF的長；
（2）由垂直平分線的性質(zhì)可知，只要做出AE的垂直平分線和BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，再有已知條件求出BP即可，連接AP，BP由垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理計算即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，
∵AB=3，DE=

3

，
∴tan∠DAE=

3

3

，
∴∠DAE=30°，
∵∠EAF=30°，
∴∠BAF=30°，
∴CE=CF=3-

3

，
∴EF=

2

CE=3

2

-

6

；

（2）作出AE的垂直平分線和BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，（如圖所示），
連接AP，BP，則AP=PE，
設(shè)BP=x，則AP²=x²+3²，PE²=（3-x）²+（3-

3

）²，
∴x²+3²=（3-x）²+（3-

3

）²，
解得：x=

3

-1，
∴BP=

3

-1．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)、解直角三角形的有關(guān)知識已經(jīng)垂直平分線的基本作圖和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)．