Question

如圖，直線y=-x+5分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，0），設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）請(qǐng)?jiān)谥本�AB和y軸上分別找一點(diǎn)M、N使△CMN的周長(zhǎng)最短，在平面直角坐標(biāo)系中作出圖形，并求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題

專題：

分析：（1）令x=0，則y=5；令y=0，則x=5，即可求得；
（2）首先根據(jù)直線AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）作出點(diǎn)C關(guān)于直線y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接DE交AB于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，則此時(shí)△CMN的周長(zhǎng)最短．由D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線DC′的解析式，再根據(jù)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線y=-x+5分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)
令x=0，則y=5；令y=0，則x=5
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（5，0）、點(diǎn)B 坐標(biāo)為（0，5）；

（2）點(diǎn)C 關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，1），

（3）作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C′的坐標(biāo)為（-4，0）
聯(lián)結(jié)C′D交AB于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，
∵點(diǎn)C、C′關(guān)于y軸對(duì)稱
∴NC=NC′，
又∵點(diǎn)C、D關(guān)于直線AB對(duì)稱，
∴CM=DM，
此時(shí)，△CMN的周長(zhǎng)=CM+MN+NC=DM+MN+NC′=DC′周長(zhǎng)最短；
設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+b
∵點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，1）
∴

1=5k+b 0=-4k+b

，解得

k= 1 9 b= 4 9

∴直線C′D的解析式為y=

1

9

x+

4

9

，
與y軸的交點(diǎn)N的坐標(biāo)為  （0，

4

9

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是由軸對(duì)稱的知識(shí)，結(jié)合圖形，得出關(guān)于直線y=-x+5軸對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，軸對(duì)稱的性質(zhì)及軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．