Question

如圖，AC與BD相交于點O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC=BD．說明OD=OC成立的理由．

Answer 1

證明：∵DA⊥AC，DB⊥BC（已知），
∴∠A=∠B=90°（垂直定義），
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），
∴∠BDC=∠ACD（全等三角形的對應角相等），
∴OD=OC（等角對等邊）．
分析：由DA⊥AC，DB⊥BC，得到∠A和∠B都為直角，在直角三角形ACD和BCD中，由已知的邊AC=BD，再加上公共邊DC，利用HL可得三角形ACD與三角形BCD全等，根據(jù)全等三角形的對應角相等，可得∠BDC=∠ACD，最后根據(jù)等角對等邊可得證．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，垂直定義，以及等腰三角形的判定，直角三角形是特殊的三角形，其全等的方法可以用HL來判定，即直角邊及斜邊對應相等的兩直角三角形全等，在證明邊相等或角相等時，常常構造三角形全等來解決問題．