Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC上任意一點(diǎn)，連接AE、DE、G₁、G₂、G₃分別為△ABE，△ADE，△DEC的重心，BC=2AD=12，梯形的高為6，則△G₁G₂G₃的面積為________．

Answer 1

6
分析：首先連接AG₁，并延長交BC于點(diǎn)F，連接DG₃，并延長交BC于點(diǎn)K，連接EG₂，并延長交AD于點(diǎn)Q，交G₁G₃于點(diǎn)P，由G₁、G₂、G₃分別為△ABE，△ADE，△DEC的重心，易證得AD∥FK∥G₁G₃，且AD=FK=G₁G₃=6，又由G₂Q=EQ，EP：EQ=G₃K：DK=1：3，可求得△G₁G₂G₃的高，繼而求得△G₁G₂G₃的面積．
解答：解：連接AG₁，并延長交BC于點(diǎn)F，連接DG₃，并延長交BC于點(diǎn)K，連接EG₂，并延長交AD于點(diǎn)Q，交G₁G₃于點(diǎn)P，
∵G₁、G₂、G₃分別為△ABE，△ADE，△DEC的重心，
∴AD∥FK∥G₁G₃，EF=BE，CK=EC，
∴FK=BE+EC=BE+EC=BC，
∵BC=2AD=12，
∴FK=AD，
∴四邊形AFKD是平行四邊形，
∴AD=FK=G₁G₃=6，
∵G₂Q=EQ，EP：EQ=G₃K：DK=1：3，
即EP=EQ，
∴G₂P=EQ，
∵梯形的高為6，
∴△G₁G₂G₃的高為：×6=2，
∴△G₁G₂G₃的面積為：×6×2=6．
故答案為：6．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形重心的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)與判定．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．