Question

如圖，點(diǎn)A、B、C為⊙O上順次三點(diǎn)，AC為⊙O直徑，CD∥AB，CD=AC，連接BD交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F．
（1）求證：∠ACF=∠D；       
（2）若AB=

7

，BC=3，求AC、BD的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,勾股定理

專題：計(jì)算題

分析：（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABD=∠BDC，再根據(jù)圓周角定理得∠ACF=∠ABD，于是有∠ACF=∠BDC；
（2）根據(jù)圓周角定理，由AC為⊙O直徑得到∠ABC=90°，則根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AC=4，于是得到CD=4，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BCD=90°，然后再利用勾股定理計(jì)算BD．

解答：（1）證明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠ACF=∠ABD，
∴∠ACF=∠BDC；

（2）解：∵AC為⊙O直徑，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，∵AB=

7

，BC=3，
∴AC=

AB2+BC2

=4，
∵CD=AC，
∴CD=4，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=90°，
在Rt△BCD中，∵BC=3，CD=4，
∴BD=

BC2+CD2

=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了勾股定理．