Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（5，0）兩點，最高點的縱坐標為4，與y軸交于點C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若△ABC的外接圓⊙O’交y軸不同于點c的點D’，⊙O’的弦DE平行于x軸，求直線CE的解析式；
（3）在x軸上是否存在點F，使△OCF與△CDE相似？若存在，求出所有符合條件的點F的坐標，并判定直線CF與⊙O’的位置關(guān)系（要求寫出判斷根據(jù)）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：由對稱性可知拋物線的最高點的橫坐標是3，所以拋物線的最高點坐標為（3，4）
∴
解得．
所以拋物線解析式為y=-x²+6x-5．

（2）如圖，∵C（0，-5），
∴OC=5，
∵OA•OB=OD•OC，
∴1×5=OD×5
∴OD=1
∵直線x=3垂直平分DE，
∴DE=6．
∵DE∥x軸，
∴E（6，-1）
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b．
∴
解得
故直線CE解析式為y=x-5．

（3）假設(shè)存在點F，使△CDE與△COF相似．
∵DE∥AB，
∴∠CDE=90°
∵∠COF=90°
∵∠CDE=∠COF∴△DCE∽△COF或△CDE∽△FOC
當△CDE∽△COF時，=，所以O(shè)F=．
當△CDE∽△FOC時，=，所以O(shè)F=．
所以存在點F，使△CDE與△COF相似．其坐標為F₁（，0），F(xiàn)₂（-，0）
F₃（，0），F(xiàn)₄（-，0）
∵∠OCF₄=∠CED，
∴∠ECF₄=90°
所以直線CF₄與⊙O'相切
∵∠CDE=90°
∴直線CF₁經(jīng)過圓心O′，
∴直線CF₁與⊙O'相交，
∴點F₃在線段OB上
∴∠F₃CE為銳角，做OH'⊥CF₃，垂足為H，所以O(shè)′H＜O′C．
∴直線CF₃與⊙O′相交，同理直線CF₂與⊙O′相交．
故直線CF₄與⊙O′相切，直線CF₁、CF₂、CF₃都與⊙O′相交．
分析：（1）根據(jù)A、B兩點的坐標即可得出拋物線的對稱軸解析式，也就可得出拋物線頂點的坐標，然后根據(jù)頂點、A、B這三個點的坐標即可求出的拋物線的解析式．
（2）本題的關(guān)鍵是求出E點的坐標，根據(jù)圓的對稱性可知，D與E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．因此只需求出D點的坐標即可得出E點的坐標，那么首先要求出OD的長，已知了OA、OB、OC的長，可根據(jù)切割線定理求出OD的長，進而可得出D、E點的坐標，然后可根據(jù)C、E的坐標用待定系數(shù)法求出直線CE的函數(shù)解析式．
（3）求F點的坐標要分類進行討論：
①當∠CED=∠CFO，即△CDE∽△COF，由于DE∥x軸，因此直線CE與x軸的交點就滿足F點的條件，設(shè)此點為F1，F(xiàn)1關(guān)于y軸的對稱點F2也符合這樣的條件．
②當∠CFO=∠DCE時，即△CDE∽△FOC，可根據(jù)相似三角形得出的對應(yīng)成比例線段求出OF的長，即可得出F點的坐標．（同①一樣y軸左右各有一個符合條件的F點）
如圖：可過O′作CF₃的垂線設(shè)垂足為H，由于∠HCO′是銳角，因此O′H＜O′C，所以CF₃與圓O′的相交，同理可得出CF₁，DF₄也與圓O′相交．由于∠F₄CO=∠CED，而∠CED+∠DCE=90°，那么∠F₄CE=90°，因此只要CF4與圓O′相切，CF₁，CF₂，CF₃都與圓相交．
點評：本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識點．