“三等分角”是數(shù)學史上一個著名的問題,但僅用尺規(guī)不可能“三等分角”.下面是數(shù)學家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角”的方法(如圖):將給定的銳角∠AOB置于直角坐標系中,邊OB在x軸上、邊OA與函數(shù)y=
1
x
的圖象交于點P,以P為圓心、以2OP為半徑作弧交圖象于點R.分別過點P和R作x軸和y軸的平行線,兩直線相交于點M,連接OM得到∠MOB,則∠MOB=
1
3
∠AOB.要明白帕普斯的方法,請研究以下問題:
(1)設P(a,
1
a
)、R(b,
1
b
),求直線OM對應的函數(shù)表達式(用含a,b的代數(shù)式表示);
(2)分別過點P和R作y軸和x軸的平行線,兩直線相交于點Q.請說明Q點在直線OM上,并據(jù)此證明精英家教網(wǎng)∠MOB=
1
3
∠AOB;
(3)應用上述方法得到的結(jié)論,你如何三等分一個鈍角(用文字簡要說明).
分析:(1)直線OM是正比例函數(shù),可利用所給的坐標得到M的坐標,代入函數(shù)解析式即可;
(2)根據(jù)所給的點的坐標得到Q的坐標,看是否符合(1)中的函數(shù)解析式;運用矩形的性質(zhì),作圖過程中的條件,外角與不相鄰內(nèi)角的關系,即可得證;
(3)既然能作出銳角的三等分角,先將此鈍角的一半(銳角)三等分,再作鈍角的三等分角.
解答:解:(1)設直線OM的函數(shù)關系式為y=kx,P(a,
1
a
)、R(b,
1
b
).(1分)
則M(b,
1
a
),
∴k=
1
a
÷b=
1
ab
.(2分)
∴直線OM的函數(shù)關系式為y=
1
ab
x.(3分)

(2)∵Q的坐標(a,
1
b
),滿足y=
1
ab
x,
∴點Q在直線OM上.
∵四邊形PQRM是矩形,
∴SP=SQ=SR=SM=
1
2
PR.
∴∠SQR=∠SRQ.(5分)
∵PR=2OP,
∴PS=OP=
1
2
PR.
∴∠POS=∠PSO.(6分)
∵∠PSQ是△SQR的一個外角,
∴∠PSQ=2∠SQR.
∴∠POS=2∠SQR.(7分)
∵QR∥OB,
∴∠MOB=∠SQR.(8分)
∴∠POS=2∠MOB.(9分)
∴∠MOB=
1
3
∠AOB.(10分)

(3)①先做出鈍角的一半,按照上述方法先將此鈍角的一半(銳角)三等分,進而做出再做一個角與已做得的角相等即可得到鈍角的三等分角.
②先作鈍角的鄰補角的三等分角,然后再以得到的三等分角作等邊三角形可得鈍角的三等分角,在鈍角內(nèi)作做出這個角即可.
點評:過某個點,這個點的坐標應適合這個函數(shù)解析式.注意使用作圖過程中利用的條件.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)“三等分一個角”是數(shù)學史上一個著名問題.今天人們已經(jīng)知道,僅用圓規(guī)和直尺是不可能作出的,在探索中,有人曾利用過如下的圖形:其中,ABCD是長方形,F(xiàn)是DA延長線上一點,G是CF上一點,并且∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠GFA,你能證明∠ECB=
13
∠ACB嗎?

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(1)“三等分角”是數(shù)學史上一個著名問題,但數(shù)學家已經(jīng)證明,僅用尺規(guī)不可能“三等分任意角”.但對于特定度數(shù)的已知角,如90°角、45°角等,是可以用尺規(guī)進行三等分的.如圖a,∠AOB=90°,我們在邊OB上取一點C,用尺規(guī)以OC為一邊向∠AOB內(nèi)部作等邊△OCD,作射線OD,再用尺規(guī)作出∠DOB的角平分線OE,則射線OD、OE將∠AOB三等分.仔細體會一下其中的道理,然后用尺規(guī)把圖b中的∠MON三等分(已知∠MON=45°).(不需寫作法,但需保留作圖痕跡,允許適當添加文字的說明)
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(2)數(shù)學家帕普斯借助函數(shù)給出了一種“三等分銳角”的方法(如圖c):將給定的銳角∠AOB置于直角坐標系中,邊OB在x軸上、邊OA與函數(shù)y=
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x
的圖象交于點P,以P為圓心、2OP長為半徑作弧交圖象于點R.分別過點P和R作x軸和y軸的平行線,兩直線相交于點M,連接OM得到∠MOB,則∠MOB=
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∠AOB.要明白帕普斯的方法,請研究以下問題:
①設P(a,
1
a
)、R(b,
1
b
),求直線OM對應的函數(shù)關系式(用含a、b的代數(shù)式表示).
②分別過點P和R作y軸和x軸的平行線,兩直線相交于點Q.請說明Q點在直線OM上,并據(jù)此證明∠MOB=
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3
∠AOB.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•天津)“三等分任意角”是數(shù)學史上一個著名問題.已知一個角∠MAN,設∠α=
13
∠MAN.
(Ⅰ)當∠MAN=69°時,∠α的大小為
23
23
(度);
(Ⅱ)如圖,將∠MAN放置在每個小正方形的邊長為1cm的網(wǎng)格中,角的一邊AM與水平方向的網(wǎng)格線平行,另一邊AN經(jīng)過格點B,且AB=2.5cm.現(xiàn)要求只能使用帶刻度的直尺,請你在圖中作出∠α,并簡要說明做法(不要求證明)
如圖,讓直尺有刻度一邊過點A,設該邊與過點B的豎直方向的網(wǎng)格線交于點C,與過點B水平方向的網(wǎng)格線交于點D,保持直尺有刻度的一邊過點A,調(diào)整點C、D的位置,使CD=5cm,畫射線AD,此時∠MAD即為所求的∠α.
如圖,讓直尺有刻度一邊過點A,設該邊與過點B的豎直方向的網(wǎng)格線交于點C,與過點B水平方向的網(wǎng)格線交于點D,保持直尺有刻度的一邊過點A,調(diào)整點C、D的位置,使CD=5cm,畫射線AD,此時∠MAD即為所求的∠α.

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科目:初中數(shù)學 來源:2011年江蘇省無錫市育才中學中考數(shù)學二模試卷(解析版) 題型:解答題

(1)“三等分角”是數(shù)學史上一個著名問題,但數(shù)學家已經(jīng)證明,僅用尺規(guī)不可能“三等分任意角”.但對于特定度數(shù)的已知角,如90°角、45°角等,是可以用尺規(guī)進行三等分的.如圖a,∠AOB=90°,我們在邊OB上取一點C,用尺規(guī)以OC為一邊向∠AOB內(nèi)部作等邊△OCD,作射線OD,再用尺規(guī)作出∠DOB的角平分線OE,則射線OD、OE將∠AOB三等分.仔細體會一下其中的道理,然后用尺規(guī)把圖b中的∠MON三等分(已知∠MON=45°).(不需寫作法,但需保留作圖痕跡,允許適當添加文字的說明)

(2)數(shù)學家帕普斯借助函數(shù)給出了一種“三等分銳角”的方法(如圖c):將給定的銳角∠AOB置于直角坐標系中,邊OB在x軸上、邊OA與函數(shù)y=的圖象交于點P,以P為圓心、2OP長為半徑作弧交圖象于點R.分別過點P和R作x軸和y軸的平行線,兩直線相交于點M,連接OM得到∠MOB,則∠MOB=∠AOB.要明白帕普斯的方法,請研究以下問題:
①設P(a,)、R(b,),求直線OM對應的函數(shù)關系式(用含a、b的代數(shù)式表示).
②分別過點P和R作y軸和x軸的平行線,兩直線相交于點Q.請說明Q點在直線OM上,并據(jù)此證明∠MOB=∠AOB.

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