Question

如圖，在平面直角坐標系中，Rt△AOC的頂點O在坐標原點，直角頂點C在x軸的正半軸上，頂點A在第一象限．以AC為軸將△AOC翻折得到△ACB，然后將△ACB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′CB′．已知OA=4cm，∠OAC=30°．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）連結(jié)OA′，試探究四邊形A′B′CO是否是等腰梯形，說說你的理由；
（3）動點P、Q分別從A′、B′兩點按順時針方向同時沿△A′B′C的邊運動，當點P運動到點C時，P、Q兩點即停止．點P、Q的運動速度分別為2cm/秒、1cm/秒．設(shè)P點的運動時間為t（秒），△PB′Q的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并探索是否存在S的最大值？若存在，請求出這個最大值及此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）在直角△AOC中，利用直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)即可求得OC，AC的長度，則OB的長即可求得，則三點的坐標可以得到；
（2）首先證明△BCB'是等邊三角形，證明A'B'∥OC，設(shè)A′B′和y軸以及OA分別交于點M、N，證明△A′MO≌△B′NC，得到OA′=B′C，從而證明四邊形A′B′CO是等腰梯形；
（3）P、Q分別到達B′和C所用的時間都是4÷2=2秒，P從B′到C的時間是2÷2=1秒．則分0＜t≤2和2＜t≤3兩種情況分別求得函數(shù)的解析式，求得最大值即可．

解答：解：（1）∵在直角△OAC中，OA=4cm，∠OAC=30°，
∴OC=

1

2

OA=

1

2

×4=2，AC=OA•cos30°=2

3

，
∴OB=2OC=4，
∴A的坐標是（2，2

3

），C的坐標是（2，0），B的坐標是（4，0）；

（2）四邊形A′B′CO是等腰梯形．
理由如下：
∵△BCB'中，CB=CB'，∠BCB'=60°，
∴△BCB'是等邊三角形，
∴∠OBB'=60°，
又∵直角△A'B'C中，∠CA'B'=∠OAC=30°，
∴∠A'B'C=60°，
∴∠CBB'=∠A'B'C，
∴A'B'∥OC，
∵直角△ABC中，∠CAB=∠OAC=30°，
∴B′是AB的中點，
∴B′的坐標是（3，

3

），
則MB′=3，NB=1，
又∵A′B′=2B′C′=2OC=4，
∴A′M=A′B′-MB′=1，
∴△A′MO和△B′NC中，

A′M=B′N ∠A′MO=∠B′NC OM=CN

，
∴△A′MO≌△B′NC，
∴OA′=B′C．
又∵A'B'∥OC，
∴四邊形A′B′CO是等腰梯形；

（3）P、Q分別到達B′和C所用的時間都是4÷2=2秒，
P從B′到C的時間是2÷2=1秒．
則當0＜t≤2時，B′P=4-2t，B′Q=t，且∠PB′Q=60°，
∴S_△PB′Q=

1

2

B′P•B′Q•sin60°=

1

2

t（4-2t）×

3

2

=-

3

2

t²+

3

t；
此時，當x=

3

3

=1時，最大值是：

3

2

；
當2＜t≤3時，P在B′C上，Q在A′C上，則CP=4+2-2t=6-2t，
CQ=t-2，
則S_△PB′Q=

1

2

CP•CQ=

1

2

（6-2t）（t-2），即S_△PB′Q=-t²+5t-6，
則當t=

5

2

時，S的最大值是：

1

4

．
總之，當t=1時，最大值是：

3

2

．

點評：本題是等腰三角形的判定，二次函數(shù)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，注意到P、Q分別到達B′和C所用的時間相同是關(guān)鍵．