【題目】在△ABC中,∠ABC=120°,線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CD,連接BD.
(1)如圖1,若AB=BC,求證:BD平分∠ABC;
(2)如圖2,若AB=2BC,
①求的值;
②連接AD,當(dāng)S△ABC=時(shí),直接寫出四邊形ABCD的面積為 .
【答案】(1)詳見解析;(2)① ;② .
【解析】
(1)連接AD,證△ACD是等邊三角形,再證△ABD≌△CBD,推出∠CBD=∠ABD,即得出結(jié)論;
(2)①連接AD,作等邊三角形ACD的外接圓⊙O,證點(diǎn)B在⊙O上,在BD上截取BM,使BM=BC,證△CBA≌△CMD,設(shè)BC=BM=1,則AB=MD=2,BD=3,過點(diǎn)C作CN⊥BD于N,可求出BN=BC=,CN=BC=,ND=BD﹣BN=,CD=,即可求出==;
②分別過點(diǎn)B,D作AC的垂線,垂足分別為H,Q,設(shè)CB=1,AB=2,CH=x,則由①知,AC=,AH=﹣x,在Rt△BCH與Rt△BAH中利用勾股定理求出BH的值,再求出DQ的值,求出=,因?yàn)?/span>AC為△ABC與△ACD的公共底,所以=,可求出△ACD的面積,進(jìn)一步求出四邊形ABCD的面積.
(1)證明:如圖1,連接AD,
由題意知,∠ACD=60°,CA=CD,
∴△ACD是等邊三角形,
∴CD=AD,
又∵AB=CB,BD=BD,
∴△ABD≌△CBD(SSS),
∴∠CBD=∠ABD,
∴BD平分∠ABC;
(2)解:①如圖2,連接AD,作等邊三角形ACD的外接圓⊙O,
∵∠ADC=60°,∠ABC=120°,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
∴點(diǎn)B在⊙O上,
∵AD=CD,
∴,
∴∠CBD=∠CAD=60°,
在BD上截取BM,使BM=BC,
則△BCM為等邊三角形,
∴∠CMB=60°,
∴∠CMD=120°=∠CBA,
又∵CB=CM,∠BAC=∠BDC,
∴△CBA≌△CMD(AAS),
∴MD=AB,
設(shè)BC=BM=1,則AB=MD=2,
∴BD=3,
過點(diǎn)C作CN⊥BD于N,
在Rt△BCN中,∠CBN=60°,
∴∠BCN=30°,
∴BN=BC=,CN=BC=,
∴ND=BD﹣BN=,
在Rt△CND中,
CD===,
∴AC=,
∴=;
②如圖3,分別過點(diǎn)B,D作AC的垂線,垂足分別為H,Q,
設(shè)CB=1,AB=2,CH=x,
則由①知,AC=,AH=-x,
在Rt△BCH與Rt△BAH中,
BC2﹣CH2=AB2﹣AH2,
即1﹣x2=22-(-x)2,
解得,x=,
∴BH==,
在Rt△ADQ中,DQ= AD=×=,
∴==,
∵AC為△ABC與△ACD的公共底,
∴==,
∵S△ABC=,
∴S△ACD=,
∴S四邊形ABCD==,
故答案為:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】操作、證明:如圖,在平行四邊形ABCD中,連接AC,以點(diǎn)C為圓心BC為半徑畫弧,交△ABC的外接圓O于點(diǎn)E,連接AE、CE.
(1)求證:AD=CE,∠D=∠E.
(2)連接CO,求證:CO平分∠BCE.
(3)判斷:“一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形”是 命題(填“真”或“假”).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人參加射擊比賽,每人射擊五次,命中的環(huán)數(shù)如下表:
次序 | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 |
甲命中的環(huán)數(shù)(環(huán)) | 6 | 7 | 8 | 6 | 8 |
乙命中的環(huán)數(shù)(環(huán)) | 5 | 10 | 7 | 6 | 7 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù),下列說法正確的是( )
A.甲的平均成績大于乙B.甲、乙成績的中位數(shù)不同
C.甲、乙成績的眾數(shù)相同D.甲的成績更穩(wěn)定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在路燈下,小明的身高如圖中線段AB所示,他在地面上的影子如圖中線段AC所示,小亮的身高如圖中線段FG所示,路燈燈泡在線段DE上.
(1)請(qǐng)你確定燈泡所在的位置,并畫出小亮在燈光下形成的影子.
(2)如果小明的身高AB=1.6m,他的影子長AC=1.4m,且他到路燈的距離AD=2.1m,求燈泡的高.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,甲分為三等分?jǐn)?shù)字轉(zhuǎn)盤,乙為四等分?jǐn)?shù)字轉(zhuǎn)盤,自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤.
(1)轉(zhuǎn)動(dòng)甲轉(zhuǎn)盤,指針指向的數(shù)字小于3的概率是 ;
(2)同時(shí)自由轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,用列舉的方法求兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針指向的數(shù)字均為奇數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】超速行駛是一種十分危險(xiǎn)的違法駕駛行為,在一條筆直的高速公路MN上,小型車限速為每小時(shí)120千米,設(shè)置在公路旁的超速監(jiān)測點(diǎn)C,現(xiàn)測得一輛小型車在監(jiān)測點(diǎn)C的南偏西30°方向的A處,7秒后,測得其在監(jiān)測點(diǎn)C的南偏東45°方向的B處,已知BC=200米,B在A的北偏東75°方向,請(qǐng)問:這輛車超速了嗎?通過計(jì)算說明理由.(參考數(shù)據(jù): ≈1.41, ≈1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】反比例函數(shù)y=(a>0,a為常數(shù))和y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,點(diǎn)M在y=的圖象上,MC⊥x軸于點(diǎn)C,交y=的圖象于點(diǎn)A;MD⊥y軸于點(diǎn)D,交y=的圖象于點(diǎn)B,當(dāng)點(diǎn)M在y=的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí),以下結(jié)論:
①S△ODB=S△OCA;
②四邊形OAMB的面積不變;
③當(dāng)點(diǎn)A是MC的中點(diǎn)時(shí),則點(diǎn)B是MD的中點(diǎn).
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2016山東省煙臺(tái)市)某中學(xué)廣場上有旗桿如圖1所示,在學(xué)習(xí)解直角三角形以后,數(shù)學(xué)興趣小組測量了旗桿的高度.如圖2,某一時(shí)刻,旗桿AB的影子一部分落在平臺(tái)上,另一部分落在斜坡上,測得落在平臺(tái)上的影長BC為4米,落在斜坡上的影長CD為3米,AB⊥BC,同一時(shí)刻,光線與水平面的夾角為72°,1米的豎立標(biāo)桿PQ在斜坡上的影長QR為2米,求旗桿的高度(結(jié)果精確到0.1米).(參考數(shù)據(jù):sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為的直徑,為上一點(diǎn),和過點(diǎn)的直線互相垂直,垂足為,且平分.
(1)求證:為的切線;
(2)若,的半徑為3,求線段的長.
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