Question

    如圖，在平面直角坐標系中，已知Rt△AOB的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長分別是方程x²－7x＋12=0的兩根（OA＜OB），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O運動；同時，動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A運動，設點P、Q運動的時間為t秒. 

 （1）（2分）求A、B兩點的坐標. 

（2）（6分）求當t為何值時，△APQ與△AOB相似，并直接寫出此時點Q的坐標. 

（3）（3分）當t=2時，在坐標平面內，是否存在點M，使以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理。

Answer 1

解：（1）x2－7 x +12=0

        解得x1=3，x2=4            ----------------------------------------------------（1分）

         ∵OA＜OB       

 ∴OA=3 , OB=4

         ∴A(0,3) , B(4,0)         --------------------------------------------------（2分）

          

(2) 由題意得，AP=t,  AQ=5-2t

可分兩種情況討論：

    當∠APQ=∠AOB 時，△APQ∽△AOB

如圖1     t/3 =( 5-2t)/5

          解得 t= 15/11         --------------------------------------------------（2分）  

     所以可得  Q（20/11 ，18/11 ）--------------------------------------------------（3分）

     當 ∠AQP=∠AOB 時， △APQ∽△ABO

     如圖2    t/5 =( 5-2t)/3

         解得  t= 25/13         --------------------------------------------------（5分）

     所以可得  Q（12/13 ，30/13 ）--------------------------------------------------（6分）

（3） 存在   M1（4/5 ，22/5 ）， M2（4/5 ，2/5 ），M3（－4/5 ，8/5 ）----（3分）

說明：以上各題，如果有其它正確解法，可酌情給分.