【題目】已知E,F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC,CD上的點(diǎn),AF,DE相交于點(diǎn)G,當(dāng)E,F(xiàn)分別為邊BC,CD的中點(diǎn)時,有:①AF=DE;②AF⊥DE成立.
試探究下列問題:
(1)如圖1,若點(diǎn)E不是邊BC的中點(diǎn),F(xiàn)不是邊CD的中點(diǎn),且CE=DF,上述結(jié)論①,②是否仍然成立?(請直接回答“成立”或“不成立”),不需要證明)
(2)如圖2,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別在CB的延長線和DC的延長線上,且CE=DF,此時,上述結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請寫出證明過程,若不成立,請說明理由;
(3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上,連接AE和EF,若點(diǎn)M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點(diǎn),請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)上述結(jié)論①,②仍然成立,(2)上述結(jié)論①,②仍然成立,證明見解析;(3)四邊形MNPQ是正方形.證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)由四邊形ABCD為正方形,CE=DF,易證得△ADF≌△DCE(SAS),即可證得AF=DE,∠DAF=∠CDE,又由∠ADG+∠EDC=90°,即可證得AF⊥DE;
(2)由四邊形ABCD為正方形,CE=DF,易證得△ADF≌△DCE(SAS),即可證得AF=DE,∠E=∠F,又由∠ADG+∠EDC=90°,即可證得AF⊥DE;
(3)首先設(shè)MQ,DE分別交AF于點(diǎn)G,O,PQ交DE于點(diǎn)H,由點(diǎn)M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點(diǎn),即可得MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,然后由AF=DE,可證得四邊形MNPQ是菱形,又由AF⊥DE即可證得四邊形MNPQ是正方形.
試題解析:(1)上述結(jié)論①,②仍然成立,
理由為:∵四邊形ABCD為正方形,
∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°,
在△ADF和△DCE中,
,
∴△ADF≌△DCE(SAS),
∴AF=DE,∠DAF=∠CDE,
∵∠ADG+∠EDC=90°,
∴∠ADG+∠DAF=90°,
∴∠AGD=90°,即AF⊥DE;
(2)上述結(jié)論①,②仍然成立,
理由為:∵四邊形ABCD為正方形,
∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°,
在△ADF和△DCE中,
,
∴△ADF≌△DCE(SAS),
∴AF=DE,∠CDE=∠DAF,
∵∠ADG+∠EDC=90°,
∴∠ADG+∠DAF=90°,
∴∠AGD=90°,即AF⊥DE;
(3)四邊形MNPQ是正方形.
理由為:如圖,設(shè)MQ,DE分別交AF于點(diǎn)G,O,PQ交DE于點(diǎn)H,
∵點(diǎn)M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點(diǎn),
∴MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,
∴四邊形OHQG是平行四邊形,
∵AF=DE,
∴MQ=PQ=PN=MN,
∴四邊形MNPQ是菱形,
∵AF⊥DE,
∴∠AOD=90°,
∴∠HQG=∠AOD=90°,
∴四邊形MNPQ是正方形.
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(1)點(diǎn)B所表示的實(shí)際意義是 ;
(2)求出AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如果小剛上坡平均速度是小明上坡平均速度的一半,那么兩人出發(fā)后多長時間第一次相遇?
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(1)、求CD的長。(結(jié)果保留根號)
(2)、問這輛車在本路段是否超速?請說明理由(參考數(shù)據(jù):=1.41,=1.73
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3x﹣8x﹣2=0…第二步
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(1)小明的解法從第 步開始出現(xiàn)錯誤;此題的正確結(jié)果是 .
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