Question

如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，BC=10cm．線段DE在邊AC上，且D與A重合，若線段DE沿AC邊以1cm/s的速度向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與C重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接EF．設(shè)DE=2cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．
（1）請(qǐng)寫出：①cos∠FDC=

 

（-1，2）；②DF=

 

（用含t的代數(shù)式表示）．
（2）在DE運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中△DEF能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，說(shuō)明理由．
（3）設(shè)DF的中點(diǎn)為M，請(qǐng)直接寫出DE在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)M所走過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）①根據(jù)勾股定理求出AC的值，再根據(jù)DF⊥BC，得出∠FDC=∠B，從而得出cos∠FDC=cos∠B，即可求出cos∠FDC；
②根據(jù)已知條件得出CD的值，再根據(jù)cos∠FDC=

3

5

，得出

DF

DC

=

3

5

，求出DF的值即可；
（2）分三種情況討論，
當(dāng)FD=FE時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AC，根據(jù)

FM

AB

=

CM

CA

求出FM=

3

4

（7-t），根據(jù)cos∠FDC=

DM

FD

=

3

5

，求出FM=

4

3

，得出

3

4

（7-t）=

4

3

，從而求出t；
當(dāng)FD=DE時(shí)，先求出FD=2，再根據(jù)DC=

DF

cos∠FDC

，求出DC=

10

3

，得出8-t=

10

3

，求出t；
當(dāng)EF=ED時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥DF于F，則DN=FN，再根據(jù)EN∥FC，得出DE=EC，得出2=6-t，求出；
（3）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，設(shè)點(diǎn)F與點(diǎn)G重合，點(diǎn)M與點(diǎn)N重合，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AF于H，
先求出MF，再根據(jù)cos∠GDC=

3

5

，求出DG，再根據(jù)勾股定理求出CG，根據(jù)HN=FG求出HN，再求出MH，最后根據(jù)MN=

HN2+MH2

代入計(jì)算即可．

解答：解：（1）①∵∠A=90°，AB=6cm，BC=10cm，
∴AC=8cm，
∵DF⊥BC，
∴∠FDC=∠B，
∴cos∠FDC=cos∠B=

AB

BC

=

6

10

=

3

5

；
②∵AD=tcm，
∴CD=（8-t）cm，
∵cos∠FDC=

3

5

，
∴

DF

DC

=

3

5

，
∴

DF

8-t

=

3

5

，
∴DF=

24-3t

5

；
故答案為：

3

5

，

24-3t

5

；

（2）能，理由如下：如圖（1）當(dāng)FD=FE時(shí)，
過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AC，則

FM

AB

=

CM

CA

，DM=EM=1，
∵CD=8-t，
∴CM=8-t-1=7-t，
∴

FM

6

=

7-t

8

，
∴FM=

3

4

（7-t），
∵cos∠FDC=

DM

FD

=

3

5

，
∴DF=

5

3

DM=

5

3

，
∴FM=

DF2-DM2

=

4

3

，
∴

3

4

（7-t）=

4

3

，
∴t=

47

9

s；
如圖（2）當(dāng)FD=DE時(shí)，
∵DE=2，
∴FD=2，
∴DC=

DF

cos∠FDC

=

2

3 5

=

10

3

，
∴8-t=

10

3

，
∴t=

14

3

s；
如圖（3）當(dāng)EF=ED時(shí)，
過(guò)點(diǎn)E作EN⊥DF于F，則DN=FN，
∵DF⊥AC，
∴EN∥FC，
∴DE=EC，
∴2=6-t，
∴t=4s；

（3）如圖（4），當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，設(shè)點(diǎn)F與點(diǎn)G重合，點(diǎn)M與點(diǎn)N重合，則AF=

24

5

，CF=

32

5

，
過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AF于H，
∵N是AF的中點(diǎn)，
∴MF=

1

2

AF=

1

2

×

24

5

=

12

5

，
∵cos∠GDC=

3

5

，
∴DG=

3

5

DC=

3

5

×2=

6

5

，
∴CG=

CD2-DG2

=

8

5

，
∴HN=FG=

32

5

-

8

5

=

24

5

，
∴NG=

3

5

，
∴FH=

3

5

，
∴MH=

12

5

-

3

5

=

9

5

，
∴MN=

HN2+MH2

=

( 24 5 )2+( 9 5 )2

=

3 73

5

（cm）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是銳角三角函數(shù)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是做出輔助線，分類討論．