Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C作⊙O的切線CM．

（1）求證：∠ACM=∠ABC；

（2）延長BC到D，使BC=CD，連接AD與CM交于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為3，ED=2，求AC的長．

Answer 1

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．

【分析】（1）連接OC，由∠ABC+∠BAC=90°及CM是⊙O的切線得出∠ACM+∠ACO=90°，再利用∠BAC=∠ACO，得出結(jié)論，

（2）連接OC，得出△AEC是直角三角形，△AEC的外接圓的直徑是AC，利用△ABC∽△CDE，求出AC．

【解答】（1）證明：如圖，連接OC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，

又∵CM是⊙O的切線，

∴OC⊥CM，

∴∠ACM+∠ACO=90°，

∵CO=AO，

∴∠BAC=∠ACO，

∴∠ACM=∠ABC；

（2）解：∵BC=CD，∠ACB=90°，

∴∠OAC=∠CAD，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠OCA=∠CAD，

∴OC∥AD，

又∵OC⊥CE，

∴AD⊥CE，

∴△AEC是直角三角形，

∴△AEC的外接圓的直徑是AC，

又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，

∴△ABC∽△CDE，

∴=，

⊙O的半徑為3，

∴AB=6，

∴=，

∴BC²=12，

∴BC=2，

∴AC==2．

【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)角的關(guān)系．