Question

如圖（1），拋物線(xiàn)y=ax²-3ax+b經(jīng)過(guò)A（-1，0），C（3，-4）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若直線(xiàn)L：y=kx+1（k≠0）將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分，求直線(xiàn)L的解析式；
（3）如圖（2），過(guò)點(diǎn)E（1，1）作EF⊥x軸于點(diǎn)F，將△AEF繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得△MNT（點(diǎn)M、N、T分別與點(diǎn)A，E，F(xiàn)對(duì)應(yīng)），使點(diǎn)M，N在拋物線(xiàn)上，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：首先把已知坐標(biāo)代入解析式求出拋物線(xiàn)解析式．然后作輔助線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，得出四邊形ABCD是等腰梯形，由矩形的中心對(duì)稱(chēng)性得出過(guò)P點(diǎn)且與CD相交的任一直線(xiàn)將梯形ABCD的面積平分．設(shè)M（m，n），N（m+2，n+1）利用等式關(guān)系求出m，n的值后即可．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²-3ax+b過(guò)A（-1，0）、C（3，-4），
∴0=a+3a+b，-4=9a-9a+b．
解得a=1，b=-4，
∴拋物線(xiàn)解析式y(tǒng)=x²-3x-4．

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，
由y=x²-3x-4得B（4，0）、D（0，-4）．
又∵A（-1，0），C（3，-4），
∴CD∥AB．
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得四邊形ABCD是等腰梯形，
∴S_△AOD=S_△BHC．
設(shè)矩形ODCH的對(duì)稱(chēng)中心為P，則P（

3

2

，-2）．
由矩形的中心對(duì)稱(chēng)性知：過(guò)P點(diǎn)任一直線(xiàn)將它的面積平分．
∴過(guò)P點(diǎn)且與CD相交的任一直線(xiàn)將梯形ABCD的面積平分．
當(dāng)直線(xiàn)y=kx+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)，
得-2=

3

2

k+1
∴k=-2．
∴當(dāng)k=-2時(shí)，直線(xiàn)y=-2x+1將四邊形ABCD面積二等分．

（3）如圖2，由題意知，四邊形AEMN為平行四邊形，
∴AN∥EM且AN=EM．
∵E（1，1）、A（-1，0），
∴設(shè)M（m，n），則N（m-2，n-1）
∵M(jìn)、N在拋物線(xiàn)上，
∴n=m²-3m-4，n-1=（m-2）²-3（m-2）-4，
解得m=

11

4

，n=-

75

16

．
∴M（

11

4

，-

75

16

），N（

3

4

，-

91

16

）

點(diǎn)評(píng)：本題的綜合性強(qiáng)，是不可多得的一道答題．重點(diǎn)考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)以及平行四邊形，梯形的性質(zhì)，難度較大．