Question

【題目】如圖1，直線DE上有一點O，過點O在直線DE上方作射線OC，∠COE＝140°，將一直角三角板AOB的直角頂點放在點O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方，將直角三角板繞著點O按每秒10°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，設旋轉(zhuǎn)時間為t秒．

（1）當直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，OA恰好平分∠COD，求此時∠BOC的度數(shù)；

（2）若射線OC的位置保持不變，在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某個時刻，使得射線OA、OC、OD中的某一條射線是另兩條射線所成夾角的角平分線？若存在，請求出t的取值，若不存在，請說明理由；

（3）若在三角板開始轉(zhuǎn)動的同時，射線OC也繞O點以每秒15°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，從旋轉(zhuǎn)開始多長時間，射線OC平分∠BOD．直接寫出t的值．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）

Answer 1

【答案】（1）∠BOC＝70°；（2）存在，t＝2，t＝8或32；（3）或.

【解析】

（1）由圖可知∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC，∠AOC可利用角平分線及平角的定義求出.

（2）分OA平分∠COD，OC平分∠AOD，OD平分∠AOC三種情況分別進行討論，建立關于t的方程，解方程即可.

（3）分別用含t的代數(shù)式表示出∠COD和∠BOD，再根據(jù)OC平分∠BOD建立方程解方程即可，注意分情況討論.

（1）解：∵∠COE＝140°，

∴∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，

又∵OA平分∠COD，

∴∠AOC＝∠COD＝20°，

∵∠AOB＝90°，

∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝70°；

（2）存在

①當OA平分∠COD時，∠AOD＝∠AOC，即10°t＝20°，解得：t＝2；

②當OC平分∠AOD時，∠AOC＝∠DOC，即10°t﹣40°＝40°，解得：t＝8；

③當OD平分∠AOC時，∠AOD＝∠COD，即360°﹣10°t＝40°，解得：t＝32；

綜上所述：t＝2，t＝8或32；

（3）或，理由如下：

設運動時間為t，則有

①當90+10t＝2（40+15t）時，t＝

②當270﹣10t＝2（320﹣15t）時，t＝

所以t的值為或．