Question

如圖，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，點(diǎn)P在AC上（與點(diǎn)A，C不重合），點(diǎn)Q在BC上．
（1）△CPQ的邊PQ上的高為

3

5

時，求△CPQ的周長；
（2）當(dāng)△CPQ的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何圖形問題

分析：（1）根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠C=90°，求出BA邊上的高，根據(jù)相似得出比例式，代入求出即可；
（2）求出CQ=6-CP，證△PQC∽△ABC得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴BC²+AC²=AB²，
∴∠C=90°，
設(shè)AB邊上的高為h，
則

1

2

×3×4=

1

2

×5h，
∴h=

12

5

，
∵PQ∥AB，
∴△CQP∽△CBA，
∴

CQ

CB

=

CP

CA

=

PQ

AB

=

3 5

12 5

=

1

4

，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴CQ=

3

4

，CP=1，PQ=

5

4

，
∴△CPQ的周長CQ+CP+PQ=

3

4

+1+

5

4

=3；

（2）∵△CPQ的周長與四邊形PABQ的周長相等，
∴CP+CQ+PQ=BQ+PQ+PA+AB=

1

2

（AB+BC+AC）=6，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴CP+CQ=3-CQ+4-CP+5，
2CQ+2CP=12，
CQ+CP=6，
∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC．
∴

CQ

CB

=

CP

AC

，
即

6-CP

3

=

CP

4

，
解得：CP=

24

7

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目綜合性比較強(qiáng)，難度適中．