Question

如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，點O既是AC的中點，又是EF的中點．
（1）求證：△BOE≌△DOF；
（2）若OA=

1

2

BD，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據(jù)線段中點的定義可得OE=OF，根據(jù)垂直的定義可得∠OEB=∠OFD=90°，然后利用“角邊角”證明△BOE和△DOF全等即可；
（2）根據(jù)全等三角形對應邊相等可得OB=OD，然后求出OA=OB=OC=OD，再根據(jù)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形解答．

解答：（1）證明：∵點O是EF的中點，
∴OE=OF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠OEB=∠OFD=90°，
在△BOE和△DOF中，

∠OEB=∠OFD=90° OE=OF ∠BOE=∠DOF

，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；

（2）解：四邊形ABCD是矩形．
理由如下：∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
∵點O是AC的中點，
∴OA=OC，
∵OA=

1

2

BD，
∴OA=OB=OC=OD，
∴四邊形ABCD是矩形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．