Question

如圖1，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，G點(diǎn)在邊AB上，且DG平分△ABC的周長，設(shè)BC=a、AC=b、AB=c．

（1）求線段BG的長；

（2）求證：DG平分∠EDF；

（3）連接CG，如圖2，若△GBD ∽△GDF，求證：BG⊥CG．

 

 

Answer 1

（1）（b+c）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）由△BDG與四邊形ACDG的周長相等與BD=CD，易得BG=AC+AG，即可得BG=（AB+AC）；

（2）由點(diǎn)D、F分別是BC、AB的中點(diǎn)，利用三角形中位線的性質(zhì)，易得DF=AC=b，由FG=BG-BF，求得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG；

（3）由△BDG與△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），可得∠B=∠FDG，又由（2）得：∠FGD=∠FDG，易證得DG=BD=CD，可得B、G、C三點(diǎn)在以BC為直徑的圓周上，由圓周角定理，即可得BG⊥CG．

試題解析：（1）【解析】
∵△BDG與四邊形ACDG的周長相等，

∴BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG，

∵D是BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD，

∴BG=AC+AG，

∵BG+（AC+AG）=AB+AC，

∴BG=（AB+AC）=（b+c）；

（2）證明：∵點(diǎn)D、F分別是BC、AB的中點(diǎn)，

∴DF=AC=b，BF=AB=c，

又∵FG=BG-BF=（b+c）-c=b，

∴DF=FG，

∴∠FDG=∠FGD，

∵點(diǎn)D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，

∴DE∥AB，

∴∠EDG=∠FGD，

∴∠FDG=∠EDG，

即DG平分∠EDF；

（3）證明：∵△BDG與△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），

∴∠B=∠FDG，

由（2）得：∠FGD=∠FDG，

∴∠FGD=∠B，

∴DG=BD，

∵BD=CD，

∴DG=BD=CD，

∴B、G、C三點(diǎn)在以BC為直徑的圓周上，

∴∠BGC=90°，

即BG⊥CG．

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.三角形中位線定理.