Question

如圖①，已知：在矩形ABCD的邊AD上有一點O，OA＝，以O為圓心，OA長為半徑作圓，交AD于M，恰好與BD相切于H，過H作弦HP∥AB，弦HP＝3．若點E是CD邊上一動點(點E與C，D不重合)，過E作直線EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿著動直線EF對折，點C的對應點為G．設CE＝x，△EFG與矩形ABCD重疊部分的面積為S．

(1)求證：四邊形ABHP是菱形；

(2)問△EFG的直角頂點G能落在⊙O上嗎？若能，求出此時x的值；若不能，請說明理由；

(3)求S與x之間的函數(shù)關系式，并直接寫出FG與⊙O相切時，S的值．

Answer 1

 (1)連結OH，如圖①．

∵AB∥HP，∠BAD＝90°，∴AQ⊥HP．而AM是直徑，

∴HQ＝HP＝．

在Rt△OHQ中，sin∠HOQ＝＝×＝，

∴∠HOQ＝60°，則∠OHQ＝30°，∠APH＝60°．

又BD與⊙O相切，∴∠QHD＝90°－∠OHQ＝60°．∴∠APH＝∠QHD．

∴AP∥BH．

又∵AB∥HP，∴四邊形ABHP是平行四邊形．

由AB⊥AM，AM是直徑知AB是⊙O的切線，而BD也是⊙O的切線，

∴AB＝BH．

∴四邊形ABHP是菱形．(注：其它方法，請參照給分)  

(2)G點能落在⊙O上，如圖①．

方法一：過C作射線CR⊥EF交EF于R，交AD于M₁，交BD于R₁，交AP于P₁，則C關于EF對稱點G在射線CR上．

當G點落在M₁上時，M₁E＝CE＝x，AB＝CD＝HP＝3，AD＝AB·tan60°＝3，ED＝CD－CE＝3－x．

在Rt△M₁DE中，cos60°＝＝＝．解得x＝2．

sin60°＝＝＝，∴M₁D＝．

而MD＝AD－AM＝，∴M₁與M重合．

∴M在CP₁上，則MP₁⊥AP，而MP⊥AP，

∴P與P₁重合，這校射線CR與⊙O交于M，P．

由AP∥BD，CP⊥AP，CR₁＝PR₁，知C與P關于BD對稱．

由于點E不與點D重合，故點G不可能落在P點．

∴點G只能落在⊙O的M點上，此時x＝2．

方法二：連結CM，PM，如圖①，由(1)知∠AMP＝∠APH＝60°，tan∠CMD＝＝＝．∴∠CMD＝∠AMP＝60°．

∴C，M，P三點共線．

∵∠BDA＝30°，∴CM⊥BD．而BD∥EF，

∴CM⊥EF，點C關于EF的對稱點G落在CP上．

又∵點P到BD的距離等于點C到BD的距離(即點A到BD的距離)，EF與BD不重合，∴點G不能落在P點，可以落在⊙O上的M點．

當點G落在⊙O上的M點時，ME＝CE＝x，

在Rt△MDE中，x＝＝×＝2．

∴點G落在床⊙O上的M點，此時x＝2．

方法三：證法略．

提示：過C作C′P⊥AP于P′，交BD于R′，可求CP′＝2CR′＝3，PM＋CM＝3，則CP′＝CM＋MP，從而C，M，P三點共線，x的值求法同上．

(3)由(2)知：①當點G在CM上運動時，0＜x≤2，

S＝x·x＝x²．

②當點G在PM上運動時，2＜x＜3，設FG交AD于T，EG交AD于N，如圖②，

則：EG＝CE＝x，ED＝3－x，S_△EFG＝CE·CF＝x²．

NE＝＝6－2x，GN＝GE－NE＝3x－6．

∵TG＝GN·tan30°＝(3x－6)×＝x－2．

S＝S_△EFG－S_△TGN＝x²－x²＋6x－6

＝－x²＋6x－6．

綜上所述，S＝

當FG與⊙O相切時，S＝－6．