Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥BD交AB于E，作△BDE的外接圓⊙O．
（1）求證：AC與⊙O相切；
（2）若AD=6，AE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OD，如圖，
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥BC，
而∠C=90°，
∴OD⊥AD，
∴AC與⊙O相切；

（2）解：∵OD⊥AD，
∴在RT△OAD中，OA²=OD²+AD²，
又∵AD=6，AE=2，設(shè)半徑為r，
∴（r+2）²=6²+r²，
解方程得，r=8，
即⊙O的半徑為8．
分析：（1）要證明AC與⊙O相切，即要證明OD⊥AD．連接OD，如圖，則有∠1=∠2，而∠2=∠3，得到∠1=∠3，因此OD∥BC，又由于∠C=90°，所以O(shè)D⊥AD．
（2）根據(jù)OD⊥AD，則在RT△OAD中，OA²=OD²+AD²，設(shè)半徑為r，AD=6，AE=2，得到（r+2）²=6²+r²，解方程即可．
點評：本題考查了圓的切線的判定方法．經(jīng)過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．當(dāng)已知直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個點，證明這個連線與已知直線垂直即可；當(dāng)沒告訴直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．同時考查了勾股定理．