解:(1)利用中心對(duì)稱性質(zhì),畫出梯形OABC.
∵A,B,C三點(diǎn)與M,N,H分別關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱,
∴A(0,4),B(6,4),C(8,0);
(2)設(shè)過A,B,C三點(diǎn)的拋物線關(guān)系式為y=ax
2+bx+c,
∵拋物線過點(diǎn)A(0,4),
∴c=4.則拋物線關(guān)系式為y=ax
2+bx+4.
將B(6,4),C(8,0)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入關(guān)系式,得
解得
所求拋物線關(guān)系式為:
;
(3)由
得,它的頂點(diǎn)是(3,
)
又直線OB的解析式是y=
x,直線AC的解析式是y=
,
兩直線的交點(diǎn)是(
);
故
-3=
,
-
=-
;
所以,只要把拋物線
向右平移
,向下平移
個(gè)單位就能使頂點(diǎn)過梯形ABCO的對(duì)角線交點(diǎn);
(4)OA=4,OC=8,
∴AF=4-m,OE=8-m.
過B作BM⊥x軸于M,則:BM=OA=4,MC=OC-AB=2;
∴EM=m-2或2-m,
即ME
2=(m-2)
2;
在Rt△BEM中,BM=4,ME
2=(m-2)
2;
根據(jù)勾股定理得:BE
2=BM
2+ME
2=m
2-4m+20;
同理:EF
2=2m
2-16m+64,GF
2=2m
2-8m+16,
而BG=6-m,
即BG
2=m
2-12m+36;則:
①GB=GF,則GB
2=GF
2,得:
m
2-12m+36=2m
2-8m+16,即m
2+4m-20=0,
解得m=-2±2
(負(fù)值舍去);
故當(dāng)
時(shí),GB=GF,
②BE=BG,則BE
2=BG
2,得:
m
2-4m+20=m
2-12m+36,
解得m=2;
故當(dāng)m=2時(shí),BE=BG.
③BE=EF,則BE
2=EF
2,
得:m
2-4m+20=2m
2-16m+64,
即m
2-12m+44=0,
此方程無解,
故此種情況不成立.
④GF=EF,則GF
2=EF
2,
得:2m
2-8m+16=2m
2-16m+64,
解得m=6,
此時(shí)BG=6-m=0,構(gòu)不成四邊形BEFG,故此種情況不成立.
綜上所述,當(dāng)
時(shí),GB=GF,當(dāng)m=2時(shí),BE=BG.
分析:(1)由于直角梯形OMNH繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到圖形OABC,因此梯形OMNH和梯形OABC是中心對(duì)稱圖形,且對(duì)稱中心為原點(diǎn)O,所以點(diǎn)A、B、C與點(diǎn)M、N、H關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即可求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);
(2)已知了拋物線圖象上A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),可利用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式;
(3)可先求出直線OB、AC的解析式,聯(lián)立兩條直線的解析式即可求得它們的交點(diǎn)坐標(biāo);若使(2)所得拋物線經(jīng)過此交點(diǎn),那么平移方法有很多種,以該拋物線頂點(diǎn)經(jīng)過此交點(diǎn)為例,首先將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式,即可得到其頂點(diǎn)坐標(biāo),然后分別求出這兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的差,根據(jù)“上加下減,左加右減”的平移規(guī)律來確定平移方案即可;
(4)過B作BM⊥x軸于M,易求得MC、BM、BC的值,即可得到表示出EM的長(zhǎng),然后分別表示出BE
2、EF
2、GF
2、BG
2的值,由于不確定四邊形BEFG的哪兩條鄰邊相等,因此分:①BG=GF,②BE=BG,③BE=EF,④GF=EF;四種情況進(jìn)行討論,根據(jù)各自的等量關(guān)系,列出不同的關(guān)于m的方程求出m的值.
點(diǎn)評(píng):此題考查了中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí).要注意的(4)題,由于四邊形的相等鄰邊沒有明確告知,需要分類討論,以免漏解.