Question

14、（1）試求出奇數(shù)的四次方被16除所得的余數(shù)（最小非負(fù)剩余）；
（2）問：是否存在六個整數(shù)a、b、c、d、e、f，使得a⁴+b⁴+c⁴+d⁴+e⁴+f⁴=2007⁹？請說明理由（允許利用在（1）中所得到的結(jié)論）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)a是奇數(shù)，則a=2n+1，可用2n+1表示出a⁴的值，再判斷出n（n+1）為偶數(shù)，所以4n（n+1）是8的倍數(shù)，再把a⁴化為16的倍數(shù)的形式即可；
（2）先根據(jù)數(shù)的奇偶性判斷出a⁴+b⁴+c⁴+d⁴+e⁴+f⁴被16除的余數(shù)，再根據(jù)2007被16除的余數(shù)為7，所以2007⁹被16除的余數(shù)就是7⁹被16除的余數(shù)，其余數(shù)為7，再由以上兩種情況即可得出答案．

解答：解：（1）設(shè)a是奇數(shù)，則a=2n+1（n是整數(shù)），（1分）a⁴=（2n+1）⁴=（4n²+4n+1）²=[4n（n+1）+1]²（2分）
因為n（n+1）為偶數(shù)，所以4n（n+1）是8的倍數(shù)，（3分）
令4n（n+1）=8t（t是整數(shù)），則a⁴=（8t+1）²=64t²+16t+1=16•（4t²+t）+1，（4分）
即a⁴被16除所得的余數(shù)為1；（5分）
（2）不存在．理由如下：
顯然，偶數(shù)的四次方被16除的余數(shù)為0，由（1）知：奇數(shù)的四次方被16除的余數(shù)為1，而整數(shù)可劃分為奇數(shù)與偶數(shù)兩大類，所以a⁴+b⁴+c⁴+d⁴+e⁴+f⁴被16除的余數(shù)只可能為0、1、2、3、4、5、6．（10分）
另一方面，2007被16除的余數(shù)為7，所以2007⁹被16除的余數(shù)就是7⁹被16除的余數(shù)，注意到7⁹=7×7⁸=7×49⁴=7×（16×3+1）⁴被16除的余數(shù)為7．（14分）
由以上兩個方面知：a⁴+b⁴+c⁴+d⁴+e⁴+f⁴與2007⁹被16除的余數(shù)永遠不可能相同，因此所述的a、b、c、d、e、f不存在．（15分）

點評：本題考查的是帶余數(shù)的除法、數(shù)的奇偶性等知識，難度較大．