Question

已知：點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA、PB、PC．
（1）如圖1．若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的長．
（2）如圖2，若PA²+PC²=2PB²，試說明點(diǎn)P必在對角線AC上．

Answer 1

解：（1）如圖1，將△APB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至△CBP′，則△APB≌△CBP′，
∴P′C=PA=2，∠BP′C=∠BPA=135°，∠3=∠1，BP′=BP=4，
∴△BPP′是等腰直角三角形，PP′=4，∠PP′B=45°，∠PP′C=90°，
∴PC==6；

（2）如圖2，將△PAB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置，連接PP′．
同（1），可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′²=2PB²；
∵PA²+PC²=2PB²=PP′²，
∴PC²+P′C²=PP′²，
∴∠P′CP=90°；
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四邊形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；
∵∠BPA=∠BP′C=90°，
∴∠BPC+∠APB=180°，即點(diǎn)P在對角線AC上．
分析：（1）如圖1，將△APB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至△CBP′，則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到P′C=PA=2，∠BP′C=∠BPA=135°，∠3=∠1，BP′=BP=4，易證△BPP′是等腰直角三角形，所以
PC==6；
（2）如圖2，將△PAB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置，由勾股定理得∠P′CP=90°，再證∠BPC+∠APB=180°，即得點(diǎn)P必在對角線AC上．
點(diǎn)評：本題是一道綜合性很強(qiáng)的題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理等相關(guān)知識，難度較大．