Question

（2009•南安市質(zhì)檢）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，6），B（8，0）．
（1）直接寫出AB的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)P（x，0）為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)O、B除外），過(guò)點(diǎn)P作PQ∥OA交AB于點(diǎn)Q．
①若以線段PQ為直徑的⊙M與y軸相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②把△BPQ沿直線PQ向左側(cè)翻折疊到△CPQ，若△CPQ與梯形OPQA重疊部分的面積為s，求s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時(shí)，s的值最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可以求得線段AB的長(zhǎng)度；
（2）①由平行線分線段成比例知

PQ

OA

=

BP

PO

，即

PQ

6

=

8-x

8

；再由圓的切線的性質(zhì)可以推知

1

2

PQ=OP，即

1

2

×（6-

3

4

x）=x，則以求x的值；
②分類討論：如圖2，當(dāng)0＜x＜4時(shí)，△CPQ與梯形OPQA重疊的部分是梯形OPQD，根據(jù)梯形的面積公式來(lái)計(jì)算重疊部分的面積即可；
如圖3，當(dāng)4≤x＜8時(shí)，△CPQ與梯形OPQA重疊部分是△CPQ，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算重疊部分的面積即可．

解答：解：（1）∵A（0，6），B（8，0）．
∴AB=

62+82

=10；

（2）①如圖1，由題意知，OP=x，則BP=8-x．
∵PQ∥OA，
∴

PQ

OA

=

BP

PO

，即

PQ

6

=

8-x

8

，
解得，PQ=6-

3

4

x．
當(dāng)以線段PQ為直徑的⊙M與y軸相切時(shí)，

1

2

PQ=OP，
∴

1

2

PQ=OP，即

1

2

×（6-

3

4

x）=x，
解得，x=

24

11

，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

24

11

，0）；

②如圖2，當(dāng)0＜x＜4時(shí)，∵△CPQ與梯形OPQA重疊的部分是梯形OPQD，則BP=CP=8-x，
∴OC=CP-OP=8-2x．
∵OD∥PQ，
∴

OC

PC

=

OD

PQ

，即

8-2x

8-x

=

OD

6- 3 4 x

，
解得，OD=6-

3

2

x，
∴s=

1

2

×（OD+PQ）×OP
=

1

2

×（6-

3

2

x+6-

3

4

x）x
=-

9

8

x²+6x
=-

9

8

（x-

8

3

）²+8．
∵x=

8

3

滿足題意，
∴當(dāng)x=

8

3

時(shí)，s的值最大為8；
如圖3，當(dāng)4≤x＜8時(shí)，△CPQ與梯形OPQA重疊部分是△CPQ，則
PC=BP=8-x，
∴s=

1

2

PC•PQ=

1

2

（8-x）×（6-

3

4

x）=

3

8

（x-8）²．
∵該拋物線的開口方向向上，
∴當(dāng)4≤x＜8時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=4是，s的值最大，最大值為6．
綜上所述，s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：s=-

9

8

x²+6x（0＜x＜4）；
s=

3

8

（x-8）²（4≤x＜8）；
且當(dāng)x=

8

3

時(shí)，s的最大值是8．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了兩點(diǎn)間的距離公式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行線分線段成比例以及三角形、梯形面積的計(jì)算．解答（2）題時(shí)，一定要分類討論，以防漏解．另外，注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用．