Question

如圖①，P是△ABC邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)作矩形PDEF，頂點(diǎn)D,E在邊BC上，頂點(diǎn)F在邊AB上；△ABC的底邊BC及BC上的高的長分別為a , h,是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)過D,E,F三點(diǎn)的⊙O的面積為,矩形PDEF的面積為。

（1）求證：以a+h為邊長的正方形面積與以a、h為邊長的矩形面積之比不小于4；

（2）求的最小值；

（3）當(dāng)的值最小時(shí)，過點(diǎn)A作BC的平行線交直線BP與Q，這時(shí)線段AQ的長與m , n , k的取值是否有關(guān)？請(qǐng)說明理由。（11分）

Answer 1

解：解法一：

（1）據(jù)題意，∵a+h=.

∴所求正方形與矩形的面積之比：

由知同號(hào),

（說明:此處未得出只扣1分, 不再影響下面評(píng)分）

即正方形與矩形的面積之比不小于4.

（2）∵∠FED=90º,∴DF為⊙O的直徑.

⊙

∴⊙O的面積為：．

矩形PDEF的面積：．

⊙

∴面積之比： 設(shè)

⊙

,   

⊙

，即時(shí)（EF=DE）, 的最小值為

⊙

（3）當(dāng)的值最小時(shí)，這時(shí)矩形PDEF的四邊相等為正方形．

過B點(diǎn)過BM⊥AQ，M為垂足，BM交直線PF于N點(diǎn)，設(shè)FP＝ e，

∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e.

由BC∥MQ,得：BM =AG =h.

∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,

∴△FBP∽△ABQ.

（說明：此處有多種相似關(guān)系可用，要同等分步驟評(píng)分）

∴,

∴.∴

∴線段AQ的長與m，n，k的取值有關(guān).    

（解題過程敘述基本清楚即可）

解法二：

（1）∵a，h為線段長，即a，h都大于0，

　∴ah＞０（說明:此處未得出只扣1分,再不影響下面評(píng)分）

  ∵（a-h）^２≥０，當(dāng)a＝h時(shí)等號(hào)成立.

　　　　    故，（a-h）^２＝（a＋h）^２－４a h≥０．

　　　　∴（a＋h）^２≥４a h，

　　　　∴≥４．（﹡）

　　　　　　這就證得≥４．（敘述基本明晰即可）

（2）設(shè)矩形PDEF的邊PD=x，DE=y，則⊙O的直徑為 .

          S_⊙O=, S_矩形PDEF=xy

⊙

=  

=

由（1）（*），            .

.

⊙

∴的最小值是

⊙

（3）當(dāng)的值最小時(shí)，

這時(shí)矩形PDEF的四邊相等為正方形.

∴EF=PF．作AG⊥BC，G為垂足.

∵△AGB∽△FEB，∴.

∵△AQB∽△FPB, ，

∴=．

而 EF=PF，∴AG=AQ=h,

∴AG=h＝,

或者AG=h＝

∴線段AQ的長與m，n，k的取值有關(guān).

（解題過程敘述基本清楚即可）