Question

【題目】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了一個(gè)問題：

我們知道，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，那么三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系？

（1）獨(dú)立思考，請(qǐng)你完成老師提出的問題：

如圖所示，已知∠DBC和∠BCE分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究∠A和∠DBC，∠BCE之間的數(shù)量關(guān)系.

解：

⑵合作交流，“創(chuàng)新小組”受此問題的啟發(fā)：分別作外角∠CBD和∠BCE的平分線BF和CF，交于點(diǎn)F（如圖所示），那么∠A與∠F之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出解答過程.

Answer 1

【答案】（1）∠DBC+∠BCE－∠A=180（2）∠A+∠F=90

【解析】

（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.

（2）根據(jù)角平分線可知∠FBC+∠FCB=（∠DBC+∠BCE，）再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合（1）即可解答.

⑴∠DBC+∠BCE－∠A=180.

∠DBC+∠BCE

=∠ABC+∠A+∠ACB+∠A

=180°+∠A

即∠DBC+∠BCE－∠A=180.

（2） ∠A+∠F=90°

∵BF和CF分別平分∠CBD和∠BCE，

∴∠CBF= ∠CBD，∠BCF= ∠BCE.

∴∠CBF+∠BCF= (∠CBD+∠BCE).

∵∠CBF+∠BCF=180－∠F，∠DBC+∠BCE=180+∠A.

∴180－∠F = （∠CBD+∠BCE）= (180+∠A)

∴ ∠A+∠F=90.