Question

如圖，在⊙O中，弦AC⊥BD，OE⊥AB，垂足為E，求證：OE=

1

2

CD．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,三角形中位線定理

專題：證明題

分析：首先連接AO并延長(zhǎng)交圓于M點(diǎn)，連接MB，MC，由垂徑定理可得OE=

1

2

BM，繼而證得四邊形BDCM是等腰梯形，則可得OE=

1

2

CD．

解答：證明：連接AO并延長(zhǎng)交圓于M點(diǎn)，連接MB，MC，
∵OE⊥AB，
∴AE=BE，
∵OA=OM，
∴OE是△ABM的中位線，
∴OE=

1

2

BM，
∵AM是直徑，
∴∠ACM=90°，
即AC⊥CM，
∵AD⊥AC，
∴BD∥CM，
∴∠D+∠DCM=180°，
∵∠DCM+∠DBM=180°，
∴∠D=∠DBM，
∴四邊形BDCM是等腰梯形，
∴CD=BM，
∴OE=

1

2

CD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰梯形的判定與性質(zhì)以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．