Question

如圖，一條拋物線經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)C（8，0），A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，AB∥x軸，OA=5，AB=2．點(diǎn)E在線段OC上，作∠MEN=∠AOC，使∠MEN的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)A，另一邊交線段BC于點(diǎn)F，連接AF．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)△AEF是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意可設(shè)該拋物線的解析式為：y=ax（x-8）（a≠0）．然后將點(diǎn)A或點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求值即可；
（2）由相似三角形△AOE∽△ECF的對(duì)應(yīng)邊成比例求得線段OE的長(zhǎng)度，則易求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）需要分類討論：當(dāng)AE=EF、AF=EF和AE=AF時(shí)，分別求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖，
∵該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)C（8，0），
∴設(shè)該拋物線的解析式為：y=ax（x-8）（a≠0）．
∵點(diǎn)C（8，0），
∴該拋物線的對(duì)稱軸是x=4．
∵AB=2，AB∥x軸，
∴設(shè)A（3，t），B（5，t），
又∵OA=5，
∴t=4，即A（3，4），B（5，4），
∴把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式，得
4=3a×（3-8），解得a=-

4

15

，
∴該拋物線的解析式是：y=-

4

15

x（x-8）（或y=-

4

15

x²+

32

15

x）；

（2）∵AB∥x軸，
∴根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知OA=CB=5，∠AOC=∠BCO，
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴CF=

5

2

．
∵∠MEN=∠AOC，即∠AEF=∠AOC，∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠AOC+∠OAE，
∴∠CEF=∠OAE，
∴△AOE∽△ECF，
∴

AO

CE

=

OE

CF

，即

5

8-OE

=

OE

5 2

，
解得，OE=

8- 14

2

，或OE=

8+ 14

2

，
則E（

8± 14

2

，0）；

（3）①當(dāng)AE=EF時(shí)，可證△AOE≌△ECF．
則OA=CE=5，
∴OE=3，則E（3，0）；
②當(dāng)AF=EF時(shí)，過點(diǎn)F作FK∥AO．
易證△ABF≌△FKE，求得OE=

23

6

，則E（

23

6

，0）；
③當(dāng)AE=AF時(shí)，在AO上取點(diǎn)Q，使得EQ=OE．
易證△ABF≌△EQA，則EQ=AB=2，
∴OE=2．則E（2，0）；
綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)是：（3，0）、（

23

6

，0）或（2，0）時(shí)，△AEF是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．解答（3）題時(shí)，一定要分類討論，以防漏解．