Question

如圖，PA，PB分別切⊙O于A、B，圓周角∠AMB=60°，EF切⊙O于C，交PA，PB于E，F(xiàn)，△PEF的外心在PE上，PA=3，則AE的長(zhǎng)為（　�。�

• A、3-

  3

• B、4-2

  3

• C、1
• D、2

  3

  -3

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：首先連接OA，OB，由PA，PB分別切⊙O于A、B，EF切⊙O于C，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可得△PEF的周長(zhǎng)=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+AE+BF+PF=PA+PB=6，又由圓周角∠AMB=60°，可求得∠A=60°，由△PEF的外心在PE上，可得∠PFE=90°，然后設(shè)PF=x，可得方程x+2x+

3

x=6，解此方程即可求得答案．

解答：解：連接OA，OB，
∵PA，PB分別切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB=3，
∵∠AMB=60°，
∴∠AOB=2∠AMB=120°，
∴∠P=180°-∠AOB=60°，
∵EF切⊙O于C，
∴EA=EC，F(xiàn)C=FB，
∴△PEF的周長(zhǎng)=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+AE+BF+PF=PA+PB=6，
∵△PEF的外心在PE上，
∴PE是△PEF的外接圓的直徑，
∴∠PFE=90°，
設(shè)PF=x，則PE=2x，EF=

3

x，
∴x+2x+

3

x=6，
解得：x=3-

3

，
∴PE=6-2

3

，
∴AE=PA-PE=3-（6-2

3

）=2

3

-3．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、三角形外接圓的性質(zhì)、圓周角定理以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．