Question

如圖1，拋物線(xiàn)平移后過(guò)點(diǎn)A（8，,0）和原點(diǎn)，頂點(diǎn)為B，對(duì)稱(chēng)軸與軸相交于點(diǎn)C，與原拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)D．

（1）求平移后拋物線(xiàn)的解析式并直接寫(xiě)出陰影部分的面積；

（2）如圖2，直線(xiàn)AB與軸相交于點(diǎn)P，點(diǎn)M為線(xiàn)段OA上一動(dòng)點(diǎn)，為直角，邊MN與AP相交于點(diǎn)N，設(shè)，試探求：

  ①為何值時(shí)為等腰三角形；

  ②為何值時(shí)線(xiàn)段PN的長(zhǎng)度最小，最小長(zhǎng)度是多少．

Answer 1

【解析】（1）設(shè)平移后拋物線(xiàn)的解析式，

將點(diǎn)A（8，,0）代入，得.頂點(diǎn)B（4,3），

=OC×CB＝12.

（2）直線(xiàn)AB的解析式為，作NQ垂直于x軸于點(diǎn)Q，

①當(dāng)MN＝AN時(shí)， N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，

由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.

當(dāng)AM＝AN時(shí)，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知,

MQ＝，由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，解得：

＝12（舍去）.

當(dāng)MN＝MA時(shí)，故是鈍角，顯然不成立.

故.

②方法一：作PN的中點(diǎn)C，連接CM，則CM＝PC＝PＮ，

當(dāng)CM垂直于x軸且M為OQ中點(diǎn)時(shí)PN最小，

此時(shí)＝3，證明如下：

假設(shè)＝3時(shí)M記為，C記為

若M不在處，即M在左側(cè)或右側(cè)，

若C在左側(cè)或者C在處，則CM一定大于,而PC卻小于，這與CM＝PC矛盾，

故C在右側(cè)，則PC大于,相應(yīng)PN也會(huì)增大，

故若M不在處時(shí) PN大于處的PN的值，

故當(dāng)＝3時(shí)，MQ＝3, ,根據(jù)勾股定理可求出PM＝與MN＝,．

故當(dāng)＝3時(shí)，PN取最小值為．

方法二：由所在直線(xiàn)方程為，與直線(xiàn)AB的解析式聯(lián)立，

得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為，即，

由判別式，得或，又，

所以的最小值為6，此時(shí)＝3，

當(dāng)＝3時(shí)，N的坐標(biāo)為（6，），此時(shí)PN取最小值為．