Question

已知正方形ABCD，AC、BD交于O點(diǎn)，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與O重合，它的兩條直角邊分別與AB、BC相交于點(diǎn)E、F．
（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OE與AB垂直時(shí)（如圖1），求證：BE+BF=

2

OB．
（2）當(dāng)三角板在（1）的條件下繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a°（0°＜a＜45°）時(shí)，如圖2，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出OB=OC，∠EBO=∠OCF=45°，OB⊥OC，根據(jù)勾股定理求出BC=

2

OB，證△BOE≌△COF，推出BE=CF即可；
（2）根據(jù)正方形性質(zhì)得出OB=OC，∠EBO=∠OCF=45°，OB⊥OC，根據(jù)勾股定理求出BC=

2

OB，證△BOE≌△COF，推出BE=CF即可．

解答：（1）證明：∵ABCD是正方形，O為對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，
∴OB=OC，∠EBO=∠OCF=45°，OB⊥OC，BC=

OB2+OC2

=

2

OB．
又∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFC=90°，∠EOF=∠BOC=90°，
∴∠EOF-∠BOF=∠BOC-∠BOF，
∴∠EOB=∠FOC，
在△EOB和△FOC中，

∠EOB=∠FOC OB=OC ∠EBO=∠FCO

，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE=CF，
∴BE+BF=CF+BF=BC=

2

OB．

（2）BE+BF=

2

OB仍然成立．
證明：∵∠EOB+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°
∴∠EOB=∠COF，
又∵OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，
∴在△BOE和△COF中

∠EOB=∠FOC OB=OC ∠EBO=∠FCO

∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE=CF，
∴BE+BF=CF+BF=BC=

2

OB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△BOE≌△COF，證明過(guò)程類(lèi)似．