Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)， ，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段（不包括端點(diǎn)，）以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段（不包括端點(diǎn)，）以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒），當(dāng)（秒）時(shí)，．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出的取值范圍；

（2）連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，把沿翻折

交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，則的面積

是否隨的變化而變化？若變化，求出與的函數(shù)關(guān)系式；

若不變，求出的值．

（3）在（2）的條件下，為何值時(shí)，四邊形是梯形？

Answer 1

解答：

解：（1）由題意可知，當(dāng)t=2（秒）時(shí)，OP=4，CQ=2，

在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC===4，

∴OC=OP+PC=4+4=8，

又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）．

點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間為=4秒，點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間為=4秒，由題意可知，t的取值范圍為：0＜t＜4．

（2）結(jié)論：△AEF的面積S不變化．

∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC，

∴，即，解得CE=．

由翻折變換的性質(zhì)可知：DF=DQ=4﹣t，則CF=CD+DF=8﹣t．

S=S_梯形AOCF+S_△FCE﹣S_△AOE

=（OA+CF）•OC+CF•CE﹣OA•OE

=×8+（8﹣t）•﹣×4×（8+）

化簡(jiǎn)得：S=32為定值．

所以△AEF的面積S不變化，S=32．

（3）若四邊形APQF是梯形，因?yàn)锳P與CF不平行，所以只有PQ∥AF．

由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF，

∴，即，化簡(jiǎn)得t²﹣12t+16=0，

解得：t₁=6+2，t₂=6﹣2，

由（1）可知，0＜t＜4，∴t₁=6+2不符合題意，舍去．

∴當(dāng)t=（6﹣2）秒時(shí)，四邊形APQF是梯形．