Question

如圖，拋物線F：y=ax²+bx+c（a＞0）與y軸相交于點C，直線L₁經(jīng)過點C且平行于x軸，將L₁向上平移t個單位得到直線L₂，設(shè)L₁與拋物線F的交點為C、D，L₂與拋物線F的交點為A、B，連接AC、BC．
（1）當(dāng)a=

1

2

，b=-

3

2

，c=1，t=2時，探究△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若△ABC為直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的條件下，若點A關(guān)于y軸的對稱點A’恰好在拋物線F的對稱軸上，連接A’C，BD，求四邊形A’CDB的面積（用含a的式子表示）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a、b、c的值，可確定拋物線的解析式，進而可求出C點的坐標(biāo)；根據(jù)t的值，可確定直線L₂的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可得到A、B的坐標(biāo)；根據(jù)A、B、C三點的坐標(biāo)，可求出直線AC、BC的斜率，此時發(fā)現(xiàn)兩條直線的斜率的乘積為-1，所以它們互相垂直，由此可判定△ABC是直角三角形；
（2）根據(jù)拋物線的解析式可知：C點坐標(biāo)為（0，c），那么直線L₂的解析式為c+t，聯(lián)立拋物線的解析式可得到關(guān)于x的方程，那么方程的兩根即為A、B的橫坐標(biāo)，可由根與系數(shù)的關(guān)系求出AB的長；設(shè)拋物線的對稱軸與L₂的交點為F，根據(jù)拋物線的對稱性知AF=BF即F是AB中點，若△ABC是直角三角形，則AB=2CF，由此可得到CF的表達(dá)式；設(shè)L₂與y軸的交點為E，那么CE的長即為E、C縱坐標(biāo)差的絕對值，EF的長即為拋物線對稱軸方程的絕對值，在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理即可求出t的值；
（3）若A′恰好在拋物線的對稱軸上，那么AB=2AA′；而A、A′關(guān)于y軸對稱，那么AA′=2A′E，即AB=2A′B=4A′E；根據(jù)拋物線的對稱性易知CD=2A′E，那么A′B平行且相等于CD，即四邊形A′BDC是平行四邊形，由AB=4EA′可求出b的值，而CD=A′B=-

b

a

，平行四邊形的高為t，根據(jù)平行四邊形的面積計算方法即可求出四邊形A′CDB的面積．

解答：解：（1）當(dāng)a=

1

2

，b=-

3

2

，c=1，
y=

1

2

x²-

3

2

x+1，
當(dāng)t=2時，
A、B縱坐標(biāo)為3，
令y=3，解得x=-1或x=4，
故A（-1，3），B（4，3），C（0，1），
AC²=1²+（3-1）²=5，BC²=4²+（3-1）²=20，AB²=（4+1）²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC與BC垂直，
故△ABC是直角三角形．

（2）設(shè)AB交y軸于E，交拋物線對稱軸于M，則M為AB中點，連接CM；
由方程c+t=ax²+bx+c得ax²+bx-t=0，
設(shè)方程的兩根為x₁、x₂，由根與系數(shù)的關(guān)系得：
x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=-

t

a

；
AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2+4at

a

；
∴CM=

1

2

AB=

b2+4at

2a

；
在Rt△CEM中，CE=t，EM=|-

b

2a

|；
∴t²+|-

b

2a

|²=（

b2+4at

2a

）²，即4a²t²-4at=0
解得t=

1

a

；

（3）因為點A關(guān)于y軸的對稱點A′恰好在拋物線F的對稱軸上，
∴對稱軸在y軸的右側(cè)，a，b異號，
∴b＜0，且AB=4EA′；
∴

b2+4at

a

=-

b

2a

×4，
解得b=-

2 3

3

；
∴CD=A′B=-

b

a

，
∴四邊形A′CDB是平行四邊形，
則它的面積為-

b

a

×t=

2 3

3a2

．

點評：此題主要考查了函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法、直角三角形的判定和性質(zhì)、拋物線的對稱性、勾股定理以及平行四邊形的判定和性質(zhì)等重要知識點，綜合性強，難度較大．