Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC．當AB=4，DC=1，BC=4時，在BC上是否存在點P，使得AP⊥PD？若存在，求線段BP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：

分析：利用△ABP∽△PCD得出∠BPA+∠DPC=90°，即∠APD=90°，求出BP的長即可．

解答：解：存在．
如圖所示，AP⊥PD，
∴∠APD=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
又∵DC⊥BC，
∴∠DCP=90°，
∴∠PDC+∠DPC=90°，
∴∠APB=∠PDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
設BP=x，則CP=4-x，
∴

AB

PC

=

BP

DC

，即4：（4-x）=x：1，
即x（4-x）=4，
則x²-4x+4=0，
即（x-2）²=0，
得出x=2，即BP=2．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質，得出△ABP∽△PCD進而求出是解題關鍵．