Question

如圖，等腰△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若BC=4

5

，AE=1，求cos∠AEO的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OD、AD，如圖，先根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)得到BD=CD，則可判斷OD為三角形ABC的中位線，得到OD∥AC，于是可證明OD⊥DE，然后根據(jù)切線的判斷定理得到結(jié)論；
（2）等腰三角形的性質(zhì)得∠BAD=∠DAE，則可證明Rt△ABD∽R(shí)t△ADE，利用相似比得AD²=AB•AE=AB，在Rt△ABD中，利用勾股定理得到（2

5

）²+AB=AB²，解得AB=5，則可計(jì)算出AD=

5

，接著可計(jì)算出DE=2，OE=

41

2

，然后利用余弦的定義得到cos∠DOE=

OD

OE

=

5 41

41

，再利用∠AEO=∠DOE求解．

解答：（1）證明：連結(jié)OD、AD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD為三角形ABC的中位線，
∴OD∥AC，
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE為⊙O的切線；
（2）解：連結(jié)OE，如圖，
∵AD垂直平分BC，
∴AD平分∠BAC，BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×4

5

=2

5

，
∴∠BAD=∠DAE，
∴Rt△ABD∽R(shí)t△ADE，
∴

AB

AD

=

AD

AE

，
∴AD²=AB•AE=AB，
在Rt△ABD中，∵BD²+AD²=AB²，
∴（2

5

）²+AB=AB²，
整理得AB²-AB-20=0，解得AB=5或AB=-4（舍去），
∴AD²=5，解得AD=

5

，
在Rt△ADE中，DE=

AD2-AE2

=2，
在Rt△ODE中，∵OD=

5

2

，DE=2，
∴OE=

OD2+DE2

=

41

2

，
∴cos∠DOE=

OD

OE

=

5 2

41 2

=

5 41

41

，
∵OD∥AC，
∴∠AEO=∠DOE，
∴cos∠AEO=

5 41

41

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．