Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的周長為16，邊OA比OC長2．點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，以O(shè)E為直徑的⊙M交x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F．
（1）求OA、OC的長；
（2）請判斷直線DF與⊙M的位置關(guān)系，并加以說明；
（3）小明在解答本題時(shí)發(fā)現(xiàn)△AOE是等腰三角形，他斷定；“直線BC上一定存在除點(diǎn)E以外的點(diǎn)P．使得△AOP也是等腰三角形”，你同意他的看法嗎？若同意，求出這樣的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不同意，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABCO，
∴OC=AB，OA=CB，
∵OA=OC+2，
∴OC=3，OA=5．

（2）直線DF與⊙M的位置關(guān)系是：相切，
理由是：連接MD，ED．
∵矩形ABCO，
∴OC=AB，∠OCB=∠ABE=90°，
在△OCE和△ABE中
，
∴△OCE≌△ABE，
∴OE=EA，
∴∠EOA=∠EAO，
∵M(jìn)O=MD，
∴∠MOD=∠MDO，
∴∠MDO=∠EAO，
∴MD∥AE，
∵DF⊥AE，
∴DF⊥MD，
∴直線DF與⊙M的位置關(guān)系是相切．

（3）同意，理由如下：
①當(dāng)OA=AP時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AO為半徑畫弧，交BC于P₁、P₂兩點(diǎn)，作P₁H⊥OA于H，P₁H=OC=3，AP₁=OA=5，∴OH=1，
因此P₁（1，3），P₂（9，3）；
②當(dāng)OA=OP時(shí)，同法可求P₃（4，3），P₄（-4，3）．
因此在直線BC上，除了E點(diǎn)外，即存在⊙M內(nèi)的點(diǎn)P₁，又存在⊙M外的點(diǎn)P₂、P₃、P₄，它們分別使△AOP是等腰三角形．
分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)推出OC=AB，OA=CB，代入求出即可；
（2）連接MD，ED，根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形全等的判定定理SAS推出△OCE≌△ABE，推出OE=EA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠MDO=∠EAO，根據(jù)平行線的判定推出MD∥AE，得到DF⊥AE即可；
（3）①當(dāng)OA=AP時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AO為半徑畫弧，交BC于P₁、P₂兩點(diǎn)，作P₁H⊥OA于H，求出P₁H、AP₁的值，求出OH=1，即可求出P₁、P₂的坐標(biāo)②當(dāng)OA=OP時(shí)，同法可求P₃、P₄的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，對學(xué)生提出了較高的要求．分類討論思想的運(yùn)用．