【題目】在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,AB=AD=10cm,BC=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線ABCD方向以3cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),沿線段DC方向以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng). 已知兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).
(1)求CD的長(zhǎng);
(2)當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí),求四邊形PBQD的周長(zhǎng);
(3)在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在某一時(shí)刻,使得△BPQ的面積為20cm2?若存在,請(qǐng)求出所有滿足條件的t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:如圖1:過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M,
∵∠BCD=90°,
即BC⊥CD,
∴AM∥BC,
又∵AB∥CD,
∴四邊形ABCM為平行四邊形,
∵∠BCD=90°,
∴平行四邊形ABCM為矩形,
∵AB=AD=10cm,BC=8cm,
∴AM=BC=8cm,CM=AB=10cm,
在Rt△ADM中,
∴DM==6cm,
∴CD=CM+MD=10+6=16cm.
(2)解:如圖2:
∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,
∴AP=3t,DQ=2t,
又∵AB=10cm,
∴PB=AB-AP=10-3t,
又∵四邊形PBQD為平行四邊形,
∴PB=DQ,
∴10-3t=2t,
∴t=2,
∴PB=DQ=4cm,
由(1)知CD=16cm,
∴CQ=12cm,
又∵BC=8cm,∠BCD=90°,
在Rt△BCQ中,
∴BQ==4cm,
∴CPBQD=2(PB+BQ)=2×(4+4)=8+8(cm).
(3)解:①當(dāng)P在AB上時(shí),如圖3,
∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,
∴AP=3t,DQ=2t,
∴03t10,
∴0t,
又∵AB=10cm,BC=8cm,
∴PB=AB-AP=10-3t,
∴S△BPQ=.BP.BC=×(10-3t)×8=20,
∴t=.
②當(dāng)P在BC上時(shí),如圖4,
∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,
∴AP=3t,DQ=2t,
∴103t18,
∴t6,
又∵AB=10cm,BC=8cm,
∴PB=AB-AP=3t-10,
又由(1)知CD=16cm,
∴CQ=16-2t,
∴S△BPQ=.BP.CQ=×(3t-10)×(16-2t)=20,
∴3t2-34t+100=0,
∴△=342-4×3×100=-440,
∴從方程無(wú)解.
③當(dāng)P在CD上時(shí),若點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè),如圖5,
∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,
∴AP=3t,DQ=2t,
又∵AB=10cm,BC=8cm,
∴CP=AP-AB-BC=3t-18,
又由(1)知CD=16cm,
∴CQ=16-2t,
∴PQ=CQ-CP=(16-2t)-(3t-18)=34-5t,
∴,
∴6t.
∴S△BPQ=.PQ.BC=×(34-5t)×8=20,
∴t=6(不合題意,舍去).
④當(dāng)P在CD上時(shí),若點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè),如圖6,
∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,
∴AP=3t,DQ=2t,
又∵AB=10cm,BC=8cm,
∴CP=AP-AB-BC=3t-18,
又由(1)知CD=16cm,
∴CQ=16-2t,
∴PQ=CP-CQ=(3t-18)-(16-2t)=5t-34,
∴,
∴t8.
∴S△BPQ=.PQ.BC=×(5t-34)×8=20,
∴t=.
綜上所述:當(dāng)t=秒或秒時(shí),△BPQ的面積為20cm2.
【解析】(1)如圖1:過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M,由∠BCD=90°,AB∥CD得出四邊形ABCM為矩形,在Rt△ADM中,根據(jù)勾股定理求出DM=6cm,
從而求出CD=CM+MD=10+6=16cm.
(2)如圖2:由題意得出AP=3t,DQ=2t,PB=AB-AP=10-3t,由平行四邊形的性質(zhì)求出t的值,從而得出PB=DQ=4cm,再由勾股定理求出
BQ的值,從而求出四邊形PBQD的周長(zhǎng).
(3)根據(jù)題意分四種情況討論:①當(dāng)P在AB上時(shí),如圖3;②當(dāng)P在BC上時(shí),如圖4;③當(dāng)P在CD上時(shí),若點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè),如圖5;④當(dāng)P在CD上時(shí),若點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè),如圖6;根據(jù)題意畫(huà)出符合所有條件的圖形,再由三角形的面積列出方程,求出符合范圍的數(shù)值即可.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,AF平分∠CAB,交CD于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F.若AC=3,AB=5,則CE的長(zhǎng)為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求k的取值范圍;
(2)設(shè)方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2,當(dāng)k=1時(shí),求x12+x22的值.
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【題目】如圖,某校教學(xué)樓AB后方有一斜坡,已知斜坡CD的長(zhǎng)為12米,坡角α為60°,根據(jù)有關(guān)部門(mén)的規(guī)定,∠α≤39°時(shí),才能避免滑坡危險(xiǎn),學(xué)校為了消除安全隱患,決定對(duì)斜坡CD進(jìn)行改造,在保持坡腳C不動(dòng)的情況下,學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動(dòng)多少米才能保證教學(xué)樓的安全?(結(jié)果取整數(shù))
(參考數(shù)據(jù):sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,≈1.41,≈1.73,≈2.24)
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【題目】如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC且DE= AC,連接AE交OD于點(diǎn)F,連接CE、OE.
(1)求證:OE=CD;
(2)若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠ABC=60°,求AE的長(zhǎng).
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【題目】下列各式中不能用平方差公式計(jì)算的是( )
A. (x-y)(-x+y)B. (-x+y)(-x-y)C. (-x-y)(x-y)D. (x+y)(-x+y)
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【題目】支付寶與“滴滴打車(chē)”聯(lián)合推出優(yōu)惠,“滴滴打車(chē)”一夜之間紅遍大江南北,據(jù)統(tǒng)計(jì),2016年“滴滴打車(chē)”賬戶(hù)流水總金額達(dá)到4730000000元,用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.4.73×108
B.4.73×109
C.4.73×1010
D.4.73×1011
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