Question

如圖，位于同一平面內(nèi)的正△ABC、正△CDE和正△EHK（頂點依逆時針方向排列），兩兩地有公共點C和E，且D是AK的中點，求證：△BHD也是正三角形．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：證明題

分析：由于△ABC、△CDE都是正三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，將△CAD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，到達(dá)△CBE的位置，那么AD=BE，且AD、BE之間的夾角等于60°，因為D是AK的中點，所以DK=AD=BE，再由△EHK是正三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)將△HBE繞H順時針旋轉(zhuǎn)60°，到達(dá)△HDK的位置，于是HB=HD，∠BHD=60°，根據(jù)一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形得到△BHD是正三角形．

解答：證明：∵△ABC、△CDE都是正三角形，
∴將△CAD繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CBE，
∴AD=BE，且AD、BE夾角為60°．
∵AD=DK，
∴DK=AD=BE，且DK、BE的夾角是60°．
又∵△EHK是正三角形，
∴將△HBE繞H順時針旋轉(zhuǎn)60°，點E轉(zhuǎn)到K，線段EB與KD重合，即B轉(zhuǎn)到D，
∴HB=HD，∠BHD=60°，
∴△BHD是正三角形．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．同時考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．本題還可以利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明出HB=HD，∠BHD=60°，進而得出△BHD是正三角形．