Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸的正半軸上，且長分別為m、4m（m＞0），D為邊AB的中點(diǎn)，一拋物線l經(jīng)過點(diǎn)A、D及點(diǎn)M（﹣1，﹣1﹣m）．

（1）求拋物線l的解析式（用含m的式子表示）；

（2）把△OAD沿直線OD折疊后點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，連接OA′并延長與線段BC的延長線交于點(diǎn)E，若拋物線l與線段CE相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）在滿足（2）的條件下，求出拋物線l頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置時(shí)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設(shè)拋物線l的解析式為，

將A（0，m），D（2m，m），M（﹣1，﹣1﹣m）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

，解得。

∴拋物線l的解析式為。

 （2）設(shè)AD與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A′作A′N⊥x軸于點(diǎn)N，

∵把△OAD沿直線OD折疊后點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，

∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO。

∵矩形OABC中，AD∥OC，∴∠ADO=∠DOM。

∴∠A′DO=∠DOM�！郉M=OM。

設(shè)DM=OM=x，則A′M=2m﹣x，

在Rt△OA′M中，∵OA′²+A′M²=OM²，

∴，解得。

∵，∴。

∴。

∴A′點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。

易求直線OA′的解析式為，

當(dāng)x=4m時(shí)，，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4m，）。

當(dāng)x=4m時(shí)，，

∴拋物線l與直線CE的交點(diǎn)為（4m，）。

∵拋物線l與線段CE相交，∴。

∵m＞0，∴，解得。

（3）∵，

∴當(dāng)x=m時(shí)，y有最大值。

又∵，

∴當(dāng)時(shí)，隨m的增大而增大。

∴當(dāng)m=時(shí)，頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置，。

∴此時(shí)拋物線l頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置時(shí)的坐標(biāo)為（，）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)拋物線l的解析式為，將A、D、M三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解。

（2）設(shè)AD與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A′作A′N⊥x軸于點(diǎn)N．根據(jù)軸對(duì)稱及平行線的性質(zhì)得出DM=OM=x，則A′M=2m﹣x，OA′=m，在Rt△OA′M中運(yùn)用勾股定理求出x，得出A′點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法得到直線OA′的解析式，確定E點(diǎn)坐標(biāo)（4m，﹣3m），根據(jù)拋物線l與線段CE相交，列出關(guān)于m的不等式組，求出解集即可。

（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合（2）中求出的實(shí)數(shù)m的取值范圍，即可求解。