Question

【題目】如圖，⊙O 的內(nèi)接四邊形 ABCD 兩組對(duì)邊延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn) E、F．

（1）若∠E=∠F，求證：∠ADC=∠ABC；

（2）若∠E=∠F=40°，求∠A 的度數(shù)；

（3）若∠E=30°，∠F=40°，求∠A 的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）50°；（3）55°．

【解析】

（1）根據(jù)外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等量代換即可求得結(jié)果；
（3）連結(jié)EF，如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ECD=∠A，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ECD=∠1+∠2，則∠A=∠1+∠2，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，解方程即可．

（1）∠E=∠F，

∵∠DCE=∠BCF，

∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，

∴∠ADC=∠ABC；

（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，

∵∠EDC=∠ABC，

∴∠EDC=∠ADC，

∴∠ADC=90°，

∴∠A=90°﹣40°=50°；

（3）連結(jié) EF，如圖，

∵四邊形 ABCD 為圓的內(nèi)接四邊形，

∴∠ECD=∠A，

∵∠ECD=∠1+∠2，

∴∠A=∠1+∠2，

∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，

∴2∠A+30°+40°=180°，

∴∠A =55°．