Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A，B的坐標分別為（4，0），（4，3），動點M，N分別從O，B同時出發(fā)．以每秒1個單位的速度運動．其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知動點運動了x秒．
（1）P點的坐標為（______，______）（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）試求△NPC面積S的表達式，并求出面積S的最大值及相應(yīng)的x值；
（3）設(shè)四邊形OMPC的面積為S₁，四邊形ABNP的面積為S₂，請你就x的取值范圍討論S₁與S₂的大小關(guān)系并說明理由；
（4）當x為何值時，△NPC是一個等腰三角形？

Answer 1

解：（1）由題意可知，C（0，3），M（x，0），N（4-x，3），
∴點P坐標為

（2）設(shè)△NPC的面積為S，
在△NPC中，NC=4-x，NC邊上的高為，其中，0≤x≤4，
∴S=（4-x）×=-（x-2）²+，
∴S的最大值為，此時x=2

（3）由圖形知，S₁=
S₂=S_△ABC-S_△PCN=；
當0＜x＜2時，S₁＜S₂；當x=2時，S₁=S₂；當2＜x＜4時，S₁＞S₂；

（4）延長MP交CB于Q，則有PQ⊥BC．
①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=．
②若CP=CN，則，CN=4-x，PQ=x，CP=x，4-x=x∴x=．
③若CN=NP，則CN=4-x．∵PQ=x，NQ=4-2x，在Rt△PNQ中，PN²=NQ²+PQ²
∴（4-x）²=（4-2x）²+（x）²，∴x=．
綜上所述，x=，或x=，或x=．
分析：（1）首先根據(jù)題意得到C、M、N三點的坐標值．根據(jù)三角形中三角函數(shù)的關(guān)系，進而得到P點的坐標值．
（2）設(shè)△NPC的面積為S．在△NPC，根據(jù)（1）可知CN的長關(guān)于x的表達式，NC邊上的高關(guān)于x的表達式．再利用三角形面積的計算公式求得，S關(guān)于x二次函數(shù)表達式．在x的取值范圍內(nèi)求該二次函數(shù)的最大值．
（3）根據(jù)梯形的面積計算公式寫出S₁關(guān)于x的表達式，根據(jù)S₂=S_△ABC-S_△PCN寫出關(guān)于x的關(guān)系式．再就0＜x＜4的取值，討論S₁與S₂的大小關(guān)系．
（4）首先延長MP交CB于Q，則有PQ⊥BC．再分解就①若NP=CP；②若CP=CN；③若CN=NP三種情況討論x的取值．
點評：此題考查了二次函數(shù)、梯形面積、三角形面積的求法等重要知識點，用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．